[Risolto] Problema sul triangolo

Osservo che il triangolo rettangolo dato risulta pari a due triangoli rettangoli ognuno dei quali è la metà di un triangolo equilatero.

Chiamo x ed y le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa

Essendo la tangente di 60°: TAN(60°) = √3

con riferimento al triangolo di destra: h = √3·y

con riferimento al triangolo di sinistra: x = √3·h ove h=12 cm

Per cui

12 = √3·y----------> y = 4·√3

poi x = 12·√3

sommo ed ottengo l'ipotenusa: AB= x + y = 4·√3 + 12·√3 = 16·√3 cm

I cateti sono: AC =2*h----->AC=24 cm

BC=2y=8·√3

Perimetro=16·√3 + 24 + 8·√3 = 24·√3 + 24=65.569 cm

Area=1/2·16·√3·12 = 96·√3=166.277 cm^2

Il triangolo  è rettangolo in C perché 30° + 60° = 90°

180° - 90° = 90°.

Il lato CB opposto all'angolo di 30°  è metà dell'ipotenusa  AB.

CB = AB/2;

CB^2 = 12^2 + HB^2

AH : h = h : HB;

HB = CB/2

12^2 = AH * HB;

AH + HB = AB

ABC è simile a CHB;

AB : CB = h : AC;

sen30° = h/AC;

AC = h / sen30° = 12 / 0,5 = 24 cm;

sen60° = h / CB;

CB = h / sen60° = 12 / 0,866 = 13,86 cm;

AB = radice(13,86^2 + 24^2) = 27,7 cm.

 

 

Io inizierei osservando che un triangolo con angoli (30°, 60°, 90°) è metà di uno con angoli (60°, 60°, 60°) e quindi lato L = |AB| = 2*|BC|.
Inoltre, per la similitudine di ABC e HBC si ha
* |BC| = 2*|BH|
e per il teorema di Pitagora
* |CH| = √(|BC|^2 - |BH|^2)
QUESTO MI SEMBREREBBE UN BUON INIZIO.

angolo in C = 90°

triangolo BCH = metà di un triangolo equilatero , per cui :

CH = CB*√3 / 2

CB = 12*2*√3 /3  = 8√3

HB = CB/2 = 4√3

applicando Euclide

CH^2 = HB*HA

AH = 12^2/(4√3) = 36/√3 = 36√3 /3 = 12√3

AB = AH+HB = √3(12+4) = 16√3

area A = AB*CH/2 = 16√3*12/2 = 96√3 cm^2 (166,3)

AC = 2A/BC = 192√3 /(8√3) = 24

perimetro A = AB+BC+AC = 16√3+8√3+24 = 24√3+24 = 24(1+√3) cm (65,57)