La corrente di carica di un circuito RL serie si esprime mediante la seguente funzione:
$i(t)=\frac{V}{R}(1-e^{-t\frac{R}{L}})$
quindi per $t$ tendente a $+\infty$ il valore della corrente risulta:
$i(+\infty)=\frac{V}{R}$
quindi se $i(+\infty)=0.61$ $A$ si ottiene
$R=\frac{V}{i(+\infty)}=\frac{1.4V}{0.61A}=2.3$ $\Omega$
b) la discussione è abbastanza lunga. Chiamiamo $0^-$ l'instante immediatamente prima della chiusura dell'interruttore e $0^+$ l'istante immediatamente successivo alla chiusura dell'interrutore. la corrente che passa nell'induttore $L$ non può avere una discontinuità fra $0^-$ e $0^+$, altrimenti si dimostra che questa variazione discontinua in un tempo nullo (o piccolo a piacere) porta ad una potenza di valore infinito, cosa chiaramente non di questa terra. Quindi, a tempo $t=0^-$ la corrente è $0$ e deve esserlo anche al tempo $t=0^+$.
Infatti l'espressione $i(t)=\frac{V}{R}(1-e^{-t\frac{R}{L}})$ è coerente con quanto detto sopra, ovvero $i(0)=0$.
Man mano che si avanta sull'asse dei tempi, la batteria fornisce energia che in parte viene dissipata sulla resistenza e in parte viene immagazzinata nel campo magnetico (sotto forma di energia magnetica) dell'induttore. Durante questo periodo tensitorio, la corrente sale fino a quando la caduta di tensione sulla resistenza è uguale alla tensione della batteria e la tensione ai cpai dell'induttore risulta $0$. A questo punto abbiamo raggiunto lo stato di regime (in inglese "steady state") e a livello teorico non abbiamo più transitorio. questo a livello matematico avviene solo per $t=+\infty$ ma a livello pratico dopo circa 5-6 volte la costante di tempo $\tau=L/R$
c)
la corrente quindi ha espressione:
$i(t)=\frac{V}{R}(1-e^{-t\frac{R}{L}})=0.61(1-e^{-t\frac{2.3}{L}})$
Dal testo sappiamo che
$i(0.032)=0.28$ $A$, quindi
$0.61(1-e^{-0.032\frac{2.3}{L}})=0.28$
$1-e^{-0.032\frac{2.3}{L}}=0.459$
$e^{-0.032\frac{2.3}{L}}=0.541$
$e^{-\frac{0.0736}{L}}=0.541$
$-\frac{0.0736}{L}=ln(0.541)$
e per concludere
$L=-\frac{0.0736}{ln(0.541)}=119.8$ $mH$
L'energia magnetica immagazzinata vale
$W=\frac{1}{2}Li(+\infty)^2=0.5*0.1198*0.61^2=22.29$ $mJ$
la domanda d) te la lascio come esercizio, basta che tu segui passo passo quello che ho fatto io poco qui sopra.
la domanda e) invece risulta molto particolare, oserei dire formulata male (tutto il testo è formulato male, in quanto per esempio bisognava specificare all'inizio la connessione del resistore e dell'induttore: io ho inteso la cosa più semplice, ovvero connessi in serie, ma dal testo potrebbero benissimo essere connessi anche in parallelo).
La ragione del perchè dico che la domanda è formulata male, risiede nel fatto che se apro il circuito serie, interrompo la corrente istantaneamente, e nel resistore non dissipo nulla. Ma fisicamente questo non ha senso, in quanto durante l'apertura mi si genera un arco elettrico tale per cui tutta l'energia magnetica mi si dissipa nell'arco, ma non nel resistore. Affinchè la domanda e) abbia senso bisognerebbe pensare di avere il resistore e l'induttore connessi in parallelo, ma questo non è chiaro nel testo e non corrisponde a come ho risolto l'esercizio. Quindi mi fermo qui.
