Problema sui numeri complessi

dividi per $(1+i)$ a sinistra e destra, razionalizza in modo che ti venga:

$z^3=4*\sqrt{2}*(1+i)=8*e^{i\pi/4}$

quindi $z_1=2*e^{i\pi/12}$ (si calcola la radice cubica del modulo, cioè la radice cubica di 8 che fa 2 e si divide per 3 la fase)

e le altre due sono semplicemente sfasate di $2\pi/3$ e $4\pi/3$ rispetto a $z_1$

Passo a modulo e argomento come si fa in Elettrotecnica.

(1 + i) z^3 = 8 i rad(2) diventa quindi 

rad(2) e^(i TT/4) z^3 = 8 rad(2) e^(i TT/2) 

z^3 = 8 e^(i TT/4) 

z = 2 e^(i TT/12) * e^(i 2k/3 * TT ) con k = 0, 1, 2.

Tornando alla forma algebrica   (TT/12 = 15° e 2/3 TT = 120°) 

z1 = 2( cos 15° + i sin 15°)

z2 = 2(cos 135° + i sin 135°)

z3 = 2( cos 255° + i sin 255°) 

 

z1^2 = 4 e^(i TT/6) 

z2^2 = 4 e^(i TT/6) e^(i 4/3 TT) 

z3^2 = 4 e^(i TT/6) e^(i 8/3 TT) 

 

z1^2 + z2^2 + z3^2 = 4 e^(i TT/6) [ 1 + a + a^2 ] con a = e^(i 4/3 TT) 

ora 1 + a + a^2 = ( 1 - a^3 )/( 1 - a) anche nel campo complesso 

e 1 - e^(i * 4TT) = 1 - 1 = 0

 

Quindi z1^2 + z2^2 + z3^2 = 4 e^(i TT/6) * 0 = 0

A) (1 + i)*z^3 = i*8*√2 ≡ z^3 = i*(2^3)*√2/(1 + i)
essendo (1 + i) != 0 è lecito dividere mam (membro a membro).
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B) i/(1 + i) = i*(1 - i)/((1 + i)*(1 - i)) = (1 + i)/2
* z^3 = i*(2^3)*√2/(1 + i) ≡
≡ z^3 = (2^3)*(1 + i)/√2 = (2^3)*(cos(π/4) + i*sin(π/4)) = (2^3)*e^(i*π/4)
Nel piano di Argand-Gauss z^3, con (ρ, θ) = (8, 45°), è l'intersezione nel primo quadrante fra la circonferenza "x^2 + y^2 = 8^2" e la bisettrice dei quadranti dispari "y = x".
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C) La radice cubica principale w[0] di un qualsiasi complesso "c" ha per modulo "ρ" la radice cubica aritmetica del modulo di "c" (ρ = |c|^(1/3)) e per anomalia "θ" la terza parte di quella di "c" (θ = arg[c]/3).
Applicandolo al caso in esame si ha
* z^3 = (2^3)*e^(i*π/4) = (2^3)*(cos(π/4) + i*sin(π/4)) ≡
≡ w[0] = 2*e^(i*π/12) = 2*(cos(π/12) + i*sin(π/12))
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D) Le altre due radici sono anch'esse sulla circonferenza "x^2 + y^2 = 2^2" con anomalie che distano un terzo di giro fra di loro
* w[0] = 2*e^(i*π/12) = 2*(cos(π/12) + i*sin(π/12))
* w[1] = 2*e^(i*(π/12 + 2*π/3)) = 2*e^(i*3*π/4) = 2*(cos(3*π/4) + i*sin(3*π/4))
* w[2] = 2*e^(i*(π/12 + 4*π/3)) = 2*e^(i*17*π/12) = 2*(cos(17*π/12) + i*sin(17*π/12))
In gradi sessagesimali si ha
* π/12 = 15°; 3*π/4 = 135°; 17*π/12 = 255°
che è proprio il risultato atteso.
NOTA
Le k radici k-me di un qualsiasi "c", complesso o reale, sono i vertici di un k-agono regolare inscritto nella circonferenza "x^2 + y^2 = |c|^(2/k)" ruotato in modo che il primo vertice sia w[0] con modulo |c|^(1/k) e anomalia 1/k di quella di "c", e le successive radici distanziate di 1/k di giro.
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E) Per calcolare la somma dei quadrati delle radici, come per tutte le operazioni additive, servono le rappresenzazioni cartesiane.
Si hanno i quadrati
* (w[0])^2 = 4*e^(i*π/6) = 4*(cos(π/6) + i*sin(π/6))
* (w[1])^2 = 4*e^(i*3*π/2) = 4*(cos(3*π/2) + i*sin(3*π/2))
* (w[2])^2 = 4*e^(i*17*π/6) = 4*(cos(17*π/6) + i*sin(17*π/6))
poi le forme cartesiane
* cos(π/6) + i*sin(π/6) = (√3 + i)/2
* cos(3*π/2) + i*sin(3*π/2) = - i
* cos(17*π/6) + i*sin(17*π/6) = (- √3 + i)/2
e infine la somma
* 4*((√3 + i)/2 - i + (- √3 + i)/2) =
= 4*(√3/2 + i/2 - i - √3/2 + i/2) =
= 4*(√3/2 - √3/2 + i/2 - i + i/2) = 0