[Risolto] Problema su parabola

QUEST'ESERCIZIO SI SDOPPIA FACILMENTE IN DUE PROBLEMI SENZA NULL'ALTRO IN COMUNE CHE:
si tratta di trovare parabole Γ del piano Oxy; e in entrambi i casi specializzando la forma di quelle con asse parallelo all'asse x
* Γ ≡ x = w + a*(y - h)^2
cioè determinandone l'apertura a != 0 e il vertice V(w, h).
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A) Trovare la parabola Γ di vertice V(1/2, 3) e passante per A(7/6, 1).
A1) condizione V: Γ ≡ x = 1/2 + a*(y - 3)^2
A2) condizione A: 7/6 = 1/2 + a*(1 - 3)^2 ≡ a = 1/6
RISULTATO
* Γ ≡ x = 1/2 + (y - 3)^2/6 ≡
≡ 6*x - y^2 + 6*y - 12 = 0
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B) Trovare la parabola Γ, per B(1, 0) e C(4, - 1), tangente in B la retta
* r ≡ x + 2*y - 1 = 0 ≡ y = (1 - x)/2
di pendenza m = - 1/2.
B1) condizione B: 1 = w + a*(0 - h)^2
B2) condizione C: 4 = w + a*(- 1 - h)^2
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* A1 & A2 ≡ (1 = w + a*(0 - h)^2) & (4 = w + a*(- 1 - h)^2) & (a != 0) ≡
≡ (w = - (a - 1)*(a - 9)/(4*a)) & (h = (3 - a)/(2*a))
quindi
* Γ ≡ x = - (a - 1)*(a - 9)/(4*a) + a*(y - (3 - a)/(2*a))^2 ≡
≡ x = a*y^2 + (a - 3)*y + 1
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B3) condizione di tangenza in B
Il sistema
* r & Γ ≡ (y = (1 - x)/2) & (x = a*y^2 + (a - 3)*y + 1) & (a != 0)
ha risolvente
* a*((1 - x)/2)^2 + (a - 3)*(1 - x)/2 + 1 - x = 0 ≡
≡ a*x^2 + 2*(1 - 2*a)*x + 3*a - 2 = 0
con discriminante
* Δ(a) = 4*(a - 1)^2
che, per la tangenza, dev'essere zero: quindi
* a = 1
* Γ ≡ x = y^2 - 2*y + 1