[Risolto] Problema su massimi e minimi

@riccardomarte92919

Ciao. Consideriamo l'ascissa di un punto P appartenente all'intervallo ]0,2]  essendo x=2 l'asse di simmetria della parabola ad asse verticale data. Diciamo P' il simmetrico di P rispetto a tale asse. Diciamo poi H ed H' le proiezioni di tali punti sull'asse delle x.

Il generico rettangolo PP'H'H ha base:

HH'=(2 - x)·2 = 4 - 2·x

e altezza pari a:

HP= - x^2 + 4·x

Quindi ha area A pari a:

Α = (4 - 2·x)·(- x^2 + 4·x)-------> Α = 2·x^3 - 12·x^2 + 16·x

Studiamo quindi la derivata prima:

A' = 6·x^2 - 24·x + 16

Poniamo le condizioni necessarie per i punti critici A'=0

ed otteniamo:

6·x^2 - 24·x + 16 = 0------> x = 2 - 2·√3/3 ∨ x = 2·√3/3 + 2

avendo scartato la seconda soluzione perché non appartenente all'intervallo ]0,2] 

Verifichiamo quindi che per tale valore si ha un max con la derivata seconda:

A''(x)=12·x - 24

per il valore trovato si ha:

A''(x = 2 - 2·√3/3)=  12·(2 - 2·√3/3) - 24 =- 8·√3<0

che conferma un massimo.