[Risolto] Problema su iperbole n.3

TROVO IMPROBABILE FUGARE DUBBI INESPRESSI.
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Ogni iperbole non degenere traslata e non ruotata ha equazione
* Γ ≡ ((x - α)/a)^2 - ((y - β)/b)^2 = ± 1
con centro C(α, β), semiassi (a, b), semidistanza focale c = √(a^2 + b^2), assi di simmetria x = α ed y = β, asintoti y = ± (b/a)*x, fuochi sull'asse x se il secondo membro è positivo, o se no sull'asse y.
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Ogni iperbole con fuochi
* F1(- 2, - 5) ed F2(- 2, 3)
cioè
* F(- 2, - 1 ± c) ≡ c = √(a^2 + b^2) = 4
ha equazione
* Γ ≡ ((x + 2)/a)^2 - ((y + 1)/b)^2 = - 1
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"semiasse non traverso di lunghezza 3" vuol dire a = 3
da cui
* c = √(3^2 + b^2) = 4 ≡ b = √7
* Γ ≡ ((x + 2)/3)^2 - ((y + 1)/√7)^2 = - 1

@Beppe
SECONDA RISPOSTA
Dopo più di quarantott'ore ho ripescato il contesto originale che, frugando nel mio profilo, non riuscivo a localizzare: ho frugato nel tuo e ci sono arrivato subito!
A volte per superare una difficoltà basta mutare il punto di vista.
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Allora, se ho ben capito, il passo incriminato della mia risposta era il secondo paragrafo
«
Ogni iperbole con fuochi
* F1(- 2, - 5) ed F2(- 2, 3)
cioè
* F(- 2, - 1 ± c) ≡ c = √(a^2 + b^2) = 4
ha equazione
* Γ ≡ ((x + 2)/a)^2 - ((y + 1)/b)^2 = - 1
»
che intendevo fosse letto come caso particolare del paragrafo precedente (è perciò che mi serviva il contesto originale! Chi se lo ricordava, se no?).
Ma, se tu dici che sono stato laconico, mi dilungo un pochino.
Si tratta dei primi passi nell'adattare all'esercizio l'equazione generica.
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1) "determina ... l'iperbole con assi paralleli agli assi cartesiani" vuol dire
* Γ ≡ ((x - α)/a)^2 - ((y - β)/b)^2 = ± 1
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2) "con fuochi F1(-2;-5), F2(-2;3)" vuol dire un sacco di cose.
2a) i fuochi sono allineati sulla retta x = - 2;
2b) l'asse trasverso è x = - 2 parallelo all'asse y;
2c) il secondo membro è - 1;
2d) Γ ≡ ((x - α)/a)^2 - ((y - β)/b)^2 = - 1
2e) la distanza focale, 2*c, è la differenza fra le ordinate: 2*c = 3 - (- 5) = 8;
2f) la semidistanza focale, c, è la metà: c = 8/2 = 4;
2h) c = √(a^2 + b^2) per definizione;
2h) l'ordinata del centro è centrale fra quelle dei fuochi: yC = - 1;
2i) le ordinate dei fuochi sono, per definizione, yC ± c.
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3) Il passo incriminato esprime, in poche parole, le conclusioni del punto 2:
2i) yC ± c.
2d) Γ ≡ ((x - α)/a)^2 - ((y - β)/b)^2 = - 1
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DE HOC SATIS DICTUM EST (Seneca, "De ira")