[Risolto] Problema su equazioni di secondo grado

Ciao!
Secondo me ti conviene ragionare in un altro modo.

Sai che i due rubinetti devono riempire la stessa vasca, quindi lo stesso volume, il che significa che la quantità d'acqua erogata è esattamente la stessa, quel che cambia è la velocità di erogazione.

I due rubinetti, A e B, ci mettono, assieme, due ore. 

Il solo rubinetto B, più lento, ci mette il tempo di A più tre ore.

Dovendo ragionare sulla velocità, impostiamo il problema come se fosse uno di cinematica. (Nota: tutti i tempi esplicitati sono in ore, ovviamente).

Definiamo la velocità di erogazione come $ v=\frac{V}{t} $, e scriviamo ciò che sappiamo:

$ v_{A}=\frac{V}{t_{A}} $

$ v_{B}=\frac{V}{t_{B}}=\frac{V}{t_{A}+3} $

$ V=t_{insieme}v_{A}+t_{insieme}v_{B}=t_{insieme}(v_{A}+v_{B})=2(v_{A}+v_{B}) $

Ora dobbiamo risolvere questo sistema, e per farlo sostituiamo (nella terza equazione) alle velocità le loro espressioni in funzione di $ t_{A} $ (che sarebbe quella che tu hai chiamato x).

$ V=2(v_{A}+v_{B})=2(\frac{V}{t_{A}}+\frac{V}{t_{A}+3})=2V(\frac{1}{t_{A}}+\frac{1}{t_{A}+3}) $

Semplifico V (è un volume, è di certo diverso da 0)

$ 1=2(\frac{1}{t_{A}}+\frac{1}{t_{A}+3}) \rightarrow \frac{1}{2}=\frac{1}{t_{A}}+\frac{1}{t_{A}+3} $

Riordinando e facendo il mimino:

$ \frac{2t_{A}+3}{t_{A}(t_{A}+3)}=\frac{1}{2} $

Essendo le radici una nulla ed una negativa, esse sicuramente non possono essere assunte come valori da t_{A} (che, essendo un tempo, è necessariamente positivo).

Quindi, moltiplico a secondo membro per il denominatore, ed elimino quest'ultimo.

$ 2t_{A}+3=\frac{1}{2}t_{A}(t_{A}+3) \rightarrow 4t_{A}+6=t^2_{A}+3t_{A} $

Svolgendo i calcoli, si ottiene:

$ t^2_{A}-t_{A}-6=0 \rightarrow (t_{A}-3)(t_{A}+2)=0 $

In definitiva, $ t_{A}=-2 \vee t_{A}=3 $ e, per quanto detto prima, $ t_{A}=3 $ è l'unico risultato accettabile. Quindi il rubinetto A, da solo, impiega 3 ore a riempire la vasca.

Il rubinetto B, invece, impiegherà: $ t_{B}=t_{A}+3 \rightarrow t_{B}=6 $.

Spero di esserti stato d'aiuto!

Ho scelto questo procedimento in quanto l'ho ritenuto il più completo sia in termini matematici che in termini di ragionamento, ma di certo ci sono altre strade più veloci.

Per qualsiasi dubbio, chiedimi pure.

SPIEGAZIONE

La portata $q$ è uguale a $\frac{capacità}{tempo}$, da cui si ricava che la capacità (che indichiamo con $s$) è $s=t\cdot{q}$. Questo ci serve per impostare il sistema.

1. impostiamo un sistema di tre equazioni
2. facciamo tutti i calcoli applicando il metodo di sostituzione
3. risolviamo un’equazione di secondo grado
    

LEGENDA

• $q_{1}$ portata del rubinetto più “veloce”
• $q_{2}$ portata del rubinetto più “lento”
• $s$ capacità delle vasca
• $t$ tempo in ore per riempire la vasca con il rubinetto più veloce

 

SOLUZIONE

- il simbolo di moltiplicazione è sottinteso -

$\begin{cases}s=tq_{1}\\s=(t+3)q_{2}\\s=2(q_{1}+q_{2})\end{cases}$

$\begin{cases}(t+3)q_{2}=tq_{1}\\tq_{1}=2(q_{1}+q_{2})\end{cases}$

$\begin{cases}q_{1}=\frac{(t+3)q_{2}}{t}\\tq_{1}=2(q_{1}+q_{2})\end{cases}$

• sostituiamo $q_{1}$ nella seconda equazione e risolviamo poi un’equazione di secondo grado

$t\cdot\frac{(t+3)q_{2}}{t}=2[\frac{(t+3)q_{2}}{t}+q_{2}]$

$(t+3)q_{2}=\frac{(t+3)2q_{2}}{t}+2q_{2}$

$(t+3)q_{2}t=(t+3)2q_{2}+2q_{2}t$

$(t+3)t=2(t+3)+2t$

$t^{2}+3t=2t+6+2t$

$t^{2}-t-6=0$

$(t+2)(t-3)=0$

$t=-2$ (non accettabile) ; $t=3$ (accettabile)

• tempo impiegato dal rubinetto più veloce

$t=3h$

• tempo impiegato dal rubinetto più lento

$t_{2}=t+3h=6h$
 

Spero di averti aiutata @bianca17, se c’è qualcosa che non hai capito aggiungi un commento sotto la mia risposta e proverò ad aiutarti! 😊

chiamato x uno dei due tempi

chiamato x+3 l'altro dei due tempi 

vale la relazione :

x // (x+3) = 2 

ovvero se ne fa il parallelo !!!

x*(x+3)/(2x+3) = 2 

x^2+3x = 4x+6

x^2-x-6 = 0 

x = (1±√1+6*4)/2 = (1+5)/2 = 3 h 

x+3 = 3+3 = 6 h 

esempio numerico :

volume V = 12 m^3

portata Q1 = V/x = 12/3 = 4 m^3/h 

portata Q2 = V/(x+3)  = 12/6 = 2 m^3/h 

somma portate Q1+Q2 = (4+2) = 6 m^3/h

tempo t = V/(Q1+Q2) =12 m^3/6m^3/h = 2,00 ore