[Risolto] Problema su conservazione di energia e moto parabolico

Un corpo di massa m, scivola senza attrito lungo una guida fissa AB che ha la forma di un arco di circonferenza avente ampiezza angolare ACB = pi/2 + Θ dove Θ = pi/3 e R =4m. Il corpo parte da fermo dal punto A; dopo essere giunto in B si muove nel vuoto fino a raggiungere il punto D.
I) Qual è la massima quota h raggiunta rispetto al piano orizzontale in cui si trova il punto più basso O della guida?
II) Determinare la velocità al momento in cui arriva in D.

la massa si elide, alla fine, ma allo scopo di lavorare con le energie possiamo attribuirle il valore di 2 kg tal che m/2 = 1 ; per motivi di mia comodità di calcolo approssimo g a 10,0 m/sec^2 , cosicché tu dovrai rifare i calcoli attribuendo a g il valore per voi usuale 

ha = r = 4m 

hb = r*(1-cos 60°) = r/2 = 2m 

Ua = m*g*ha = 2*10*4 = 80 J

Ub = Ua/2 = 40J

Ekb = Ua-Ub = 40J = m/2*V^2

V = √40 = 2√10 m/s 

per la conservazione dell'energia meccanica vale la relazione m*g*Δh = m/2*(V*sen 60°)^2 ; la massa m si elide (come anticipato) e si ha :

2*g*Δh = 3/4*4*10  

Δh = 30/20 = 1,50 m

H = Δh+hb = 1,50+2,0 = 3,50 m 

La velocità con cui m arriva in d è data, ancora una volta, dalla conservazione dell'energia meccanica : 

m*g*ha = m/2*Vd^2 

Vd = √2*g*ha =  √80 = 4√5 m/s 

se si vuol conoscere a che distanza d il punto di atterraggio D si trova dalla verticale di B, occorre analizzare il movimento verticale :

0-hb = Vy*t-g/2*t^2

-2 = 2√10*√3/2*t-5t^2 

t = (√30+√(30+40) )/10 = (√30+√70)/10  s

dbd = V*cos 60*t = (2√10) /2*(√30+√70)/10 = 10(√3+√7)/10 = (√3+√7) m