Problema su cerchio inscritto e circoscritto a triangolo isoscele

Lasciando da parte il parametro l che dà solo noia, chiamiamo:

r = 12/5 = 2.4 = raggio circonferenza inscritta

ρ = 5 = raggio circonferenza circoscritta

Α = area triangolo isoscele ; x = lato obliquo; y = base

quindi: 2·x + y = perimetro

Dal raggio r della circonferenza inscritta: Α = 1/2·r·(2·x + y) = r·(2·x + y)/2

Per la circonferenza circoscritta vale invece la proprietà:

"La misura del raggio del cerchio circoscritto a un triangolo qualsiasi è pari al rapporto tra il prodotto delle misure dei lati e il quadruplo dell'area del triangolo stesso."

Quindi:

x^2·y/(4·Α) = ρ---------------------> Α = x^2·y/(4·ρ)

Nel nostro caso:

r·(2·x + y)/2 = x^2·y/(4·ρ)------> 12/5·(2·x + y)/2 = x^2·y/(4·5)

quindi: 48·x + 24·y = x^2·y  e risolvendo: y = 48·x/(x^2 - 24)

L'altezza h del triangolo isoscele è: h = √(x^2 - (y/2)^2) = √(4·x^2 - y^2)/2

e quindi l'area è:

Α = 1/2·y·√(4·x^2 - y^2)/2 = y·√(4·x^2 - y^2)/4

quindi:

x^2·y/(4·ρ) = y·√(4·x^2 - y^2)/4

x^2·y/(4·5) = y·√(4·x^2 - y^2)/4

x^2/20 = √(4·x^2 - (48·x/(x^2 - 24))^2)/4

x^2/20 = x^2·√(x^2 - 48)/(2·ABS(x^2 - 24))

risolvo ed ottengo:

x = - 2·√21 ∨ x = 2·√21 ∨ x = -8 ∨ x = 8 ∨ x = 0

considero quindi le solo due possibilità in grassetto

Quindi ho:

x = 2·√21; y = 8·√21/5; h = 42/5

x = 8 ; y = 48/5 ; h = 32/5

avendo quindi ovviamente applicato Pitagora per h:

h = √(x^2 - y^2/4)

Un triangolo isoscele di lati a, a, b ha
* altezza su b: h = √(a - (b/2)^2)
* inraggio: r = (b/2)*√((2*a - b)/(2*a + b))
* circumraggio: R = a^2/√(4*a^2 - b^2)
Dai dati si ricavano a e b
* (r = (b/2)*√((2*a - b)/(2*a + b)) = 12*L/5) & (R = a^2/√(4*a^2 - b^2) = 5*L) & (L > 0) ≡
≡ (a = 8*L) = 12*L/5) & (b = (48/5)*L)
oppure
≡ (a = (2*√21)*L)) & (b = (8/5)*(√21)*L)
da cui le due possibili altezze.

HO = JO = KO = r;

AB = lato L;

r = 12/5 L

AH è altezza  e bisettrice del triangolo: O è l'incentro, centro del cerchio inscritto.

AH = h =  AO + HO = AO + r;

I triangoli AJO e AHB sono simili, sono rettangoli e hanno l'angolo A/2 in comune.

Vale la proporzione:

AO : JO = AB : BH;

JO è il raggio del cerchio inscritto r;

BH = metà base = radicequadrata(L^2 - h^2)

AO : r = L : BH;

AO : r = L : radice(L^2 - h^2);

AO = r * L / [radice(L^2 - h^2)];

AO = h - r;

h - r = r * L / [radice(L^2 - h^2)];

(h - r)^2 = r^2 L^2 /(L^2 - h^2)

ci devo pensare.