Problema rette spazio

{x = 1 + 3·t

{y = -2 + 2·t

{z = 3 - 35·t

a·x + b·y + c·z + d = 0

Quindi:

3·a + 2·b - 35·c = 0 condizione di parallelismo tra retta e piano

a·(-3) + b·4 + c·0 + d = 0 passa per [-3, 4, 0]

a·0 + b·2 + c·5 + d = 0 passa per [0, 2, 5]

Risolvo il sistema :

{3·a + 2·b - 35·c = 0

{3·a - 4·b - d = 0

{2·b + 5·c + d = 0

ed ottengo: [a = - d/5 ∧ b = - 2·d/5 ∧ c = - d/25]

(- d/5)·x + (- 2·d/5)·y + (- d/25)·z + d = 0

((- d/5)·x + (- 2·d/5)·y + (- d/25)·z + d = 0)·(- 25/d)

5·x + 10·y + z - 25 = 0

Problema:

Scrivi l'equazione del piano parallelo alla retta di equazione {x=1+3t, y=-2+2t, z=3-3t} e passante per i due punti A(-3,4,0) e B(0,2,5).

Soluzione:

Per risolvere questa tipologia di quesito è opportuno scrivere un sistema con le condizioni note per trovare i coefficienti $a,b,c,d$ del piano.

Il piano è definito dall'equazione $π: ax+by+cz+d=0$, la quale può esser riscritta, dividendo tutto per d≠0, come: $π: Ax+By+Cz+1=0$.

Poiché il piano deve essere parallelo alla retta data è necessario che il prodotto scalare tra il vettore della retta $\vec{r}=<3,2,-3>$ ed il vettore normale al piano $\vec{π}=<A,B,C>$ sia pari a 0.

Sapendo inoltre che il piano passa per i punti $A$ e $B$, è possibile impostare il seguente sistema:

{$3A+2B-3C=0, -3A+4B+1=0, 2B+5C+1=0$}, il quale risulta in $(A,B,C)=(-\frac{1}{5}, -\frac{2}{5}, -\frac{1}{25})$.

Sostituendo si ottiene dunque l'equazione del piano:

$π: 5x+10y+z-25=0$