Notifiche
Cancella tutti

PROBLEMA RAZIONALIZZAZIONE

  

0

Ciao a tutti, non so come razionalizzare questa frazione.

(x-8)/(rad^3 (x) - 2)

[radice di indice 3 di (x)]

Qualcuno può aiutarmi?

Autore
Etichette discussione
5 Risposte
4
0566c317 2547 4fd5 8620 c705a7308c4d

Bisogna ricondursi allo sviluppo del polinomio notevole differenza di due cubi. Spero sia chiaro




2

Intendevi scrivere "radice di indice 3 di (x)", ma hai scritto "RadiantiAlCuboDi x".
"radice di indice 3 di (x)" si scrive "x^(1/3)".
Per razionalizzare la frazione
* f(x) = N(x)/D(x) = (x - 8)/(x^(1/3) - 2)
basta, prima di cercare un fattore razionalizzante, riconoscere la forma relativa del numeratore N(x) rispetto al denominatore D(x) ed eseguire la divisione fra polinomi che, risultando esatta, il denominatore lo elimina del tutto.
* f(x) = N(x)/D(x) = (x - 8)/(x^(1/3) - 2) =
= ((x^(1/3))^3 - 2^3)/(x^(1/3) - 2) =
= (u^3 - 2^3)/(u - 2) =
= u^2 + 2*u + 4 =
= x^(2/3) + 2*x^(1/3) + 4
------------------------------
COSTRUZIONE DEL FATTORE RAZIONALIZZANTE r(a, b)
Nel caso
* N/D(a, b) = N/(a^(1/3) - b^(1/3))
D(a, b) si razionalizza riducendolo alla forma "a - b", quindi occorre avere
* r(a, b) = a^(2/3) + (a*b)^(1/3) + b^(2/3)
di modo che
* N/(a^(1/3) - b^(1/3)) =
= N*(a^(2/3) + (a*b)^(1/3) + b^(2/3))/((a^(1/3) - b^(1/3))*(a^(2/3) + (a*b)^(1/3) + b^(2/3))) =
= N*(a^(2/3) + (a*b)^(1/3) + b^(2/3))/(a - b)
------------------------------
NEL CASO IN ESAME
* f(x) = N(x)/D(x) = (x - 8)/(x^(1/3) - 2) =
= (x - 8)/(x^(1/3) - 8^(1/3))
si ha
* r(a, b) = x^(2/3) + (x*8)^(1/3) + 8^(2/3) =
= (x^(1/3))^2 + 2*x^(1/3) + 4
da cui
* f(x) = N(x)/D(x) = (x - 8)/(x^(1/3) - 2) =
= (x - 8)/(x^(1/3) - 8^(1/3)) =
= (x - 8)*((x^(1/3))^2 + 2*x^(1/3) + 4)/((x^(1/3) - 8^(1/3))*((x^(1/3))^2 + 2*x^(1/3) + 4)) =
= (x - 8)*((x^(1/3))^2 + 2*x^(1/3) + 4)/(x - 8) =
= (x^(1/3))^2 + 2*x^(1/3) + 4
QUESTO SECONDO METODO E' DI CERTO PIU' ONEROSO di quello del riconoscere le forme (metodo "per ispezione"), ma ha un enorme vantaggio: funziona bene anche in assenza del colpo d'occhio riconoscitore, solo applicandolo pedissequamente.

1

(x - 8)/(rad_3(x) - 2) =

= (x - 8)*(rad_3(x^2) + 2 rad_3(x) + 4)/(x - 8) =

= rad_3(x^2) + 2 rad_3(x) + 4

avendo sfruttato il prodotto notevole

A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2) con A = rad_3(x) e B = rad_3(2).




1

a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab + b^2); differenza di cubi.

[radcub(x)]^3 - 2^3 = x - 8;

[radcub(x)]^3 - 2^3 = [radcub(x) - 2]  * [radcub(x^2) + 2 * radcub(x) + 4];

(x - 8) / [radcub(x) - 2];

moltiplichiamo sopra e sotto la frazione per [radcub(x^2) + 2 * radcub(x) + 4];

(x - 8) * [radcub(x^2) + 2 * radcub(x) + 4] /([radcub(x) - 2] * [radcub(x^2) + 2 * radcub(x) + 4] );

il denominatore diventa:  [radcub(x)]^3 - 2^3 = x - 8;

(x - 8) * [radcub(x^2) + 2 * radcub(x) + 4] / ([radcub(x)]^3 - 2^3 )

(x - 8) * [radcub(x^2) + 2 * radcub(x) + 4] / (x - 8);

x - 8 si semplifica; rimane:

 

radcub(x^2) + 2 * radcub(x) + 4;

(x - 8) / [radcub(x) - 2] = radcub(x^2) + 2 * radcub(x) + 4.

Ciao @anna-sa91

0

Ciao anna.sa91,

In seguito ti allego l'esercizio svolto,

se dovessi avere ulteriori dubbi o chiarimenti facci sapere 🙂

Esercizio

@mattexd bada che hai scritto "x*√3" invece di "x^(1/3)".

Grazie per avermi avvisato




Risposta



About SosMatematica

Seguici su:

Scarica la nostra App Ufficiale

SOS Matematica

GRATIS
VISUALIZZA