[Risolto] PROBLEMA RAZIONALIZZAZIONE

Intendevi scrivere "radice di indice 3 di (x)", ma hai scritto "RadiantiAlCuboDi x".
"radice di indice 3 di (x)" si scrive "x^(1/3)".
Per razionalizzare la frazione
* f(x) = N(x)/D(x) = (x - 8)/(x^(1/3) - 2)
basta, prima di cercare un fattore razionalizzante, riconoscere la forma relativa del numeratore N(x) rispetto al denominatore D(x) ed eseguire la divisione fra polinomi che, risultando esatta, il denominatore lo elimina del tutto.
* f(x) = N(x)/D(x) = (x - 8)/(x^(1/3) - 2) =
= ((x^(1/3))^3 - 2^3)/(x^(1/3) - 2) =
= (u^3 - 2^3)/(u - 2) =
= u^2 + 2*u + 4 =
= x^(2/3) + 2*x^(1/3) + 4
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COSTRUZIONE DEL FATTORE RAZIONALIZZANTE r(a, b)
Nel caso
* N/D(a, b) = N/(a^(1/3) - b^(1/3))
D(a, b) si razionalizza riducendolo alla forma "a - b", quindi occorre avere
* r(a, b) = a^(2/3) + (a*b)^(1/3) + b^(2/3)
di modo che
* N/(a^(1/3) - b^(1/3)) =
= N*(a^(2/3) + (a*b)^(1/3) + b^(2/3))/((a^(1/3) - b^(1/3))*(a^(2/3) + (a*b)^(1/3) + b^(2/3))) =
= N*(a^(2/3) + (a*b)^(1/3) + b^(2/3))/(a - b)
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NEL CASO IN ESAME
* f(x) = N(x)/D(x) = (x - 8)/(x^(1/3) - 2) =
= (x - 8)/(x^(1/3) - 8^(1/3))
si ha
* r(a, b) = x^(2/3) + (x*8)^(1/3) + 8^(2/3) =
= (x^(1/3))^2 + 2*x^(1/3) + 4
da cui
* f(x) = N(x)/D(x) = (x - 8)/(x^(1/3) - 2) =
= (x - 8)/(x^(1/3) - 8^(1/3)) =
= (x - 8)*((x^(1/3))^2 + 2*x^(1/3) + 4)/((x^(1/3) - 8^(1/3))*((x^(1/3))^2 + 2*x^(1/3) + 4)) =
= (x - 8)*((x^(1/3))^2 + 2*x^(1/3) + 4)/(x - 8) =
= (x^(1/3))^2 + 2*x^(1/3) + 4
QUESTO SECONDO METODO E' DI CERTO PIU' ONEROSO di quello del riconoscere le forme (metodo "per ispezione"), ma ha un enorme vantaggio: funziona bene anche in assenza del colpo d'occhio riconoscitore, solo applicandolo pedissequamente.

Bisogna ricondursi allo sviluppo del polinomio notevole differenza di due cubi. Spero sia chiaro

(x - 8)/(rad_3(x) - 2) =

= (x - 8)*(rad_3(x^2) + 2 rad_3(x) + 4)/(x - 8) =

= rad_3(x^2) + 2 rad_3(x) + 4

avendo sfruttato il prodotto notevole

A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2) con A = rad_3(x) e B = rad_3(2).

a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab + b^2); differenza di cubi.

[radcub(x)]^3 - 2^3 = x - 8;

[radcub(x)]^3 - 2^3 = [radcub(x) - 2]  * [radcub(x^2) + 2 * radcub(x) + 4];

(x - 8) / [radcub(x) - 2];

moltiplichiamo sopra e sotto la frazione per [radcub(x^2) + 2 * radcub(x) + 4];

(x - 8) * [radcub(x^2) + 2 * radcub(x) + 4] /([radcub(x) - 2] * [radcub(x^2) + 2 * radcub(x) + 4] );

il denominatore diventa:  [radcub(x)]^3 - 2^3 = x - 8;

(x - 8) * [radcub(x^2) + 2 * radcub(x) + 4] / ([radcub(x)]^3 - 2^3 )

(x - 8) * [radcub(x^2) + 2 * radcub(x) + 4] / (x - 8);

x - 8 si semplifica; rimane:

radcub(x^2) + 2 * radcub(x) + 4;

(x - 8) / [radcub(x) - 2] = radcub(x^2) + 2 * radcub(x) + 4.

Ciao @anna-sa91

Ciao anna.sa91,

In seguito ti allego l'esercizio svolto,

se dovessi avere ulteriori dubbi o chiarimenti facci sapere