[Risolto] Problema piano per 2 punti e perpendicolare piano

• Equazione generica del piano $Π: ax+by+cz+d = 0$
  • vettore coefficienti direttore $ \vec v(a, b, c)$
• Equazione piano ortogonale $Π_┴: x-2y- z -1 = 0$
  • vettore coefficienti direttore $ \vec u(1, -2, -1)$

Imponiamo l'ortogonalità

$ \vec v \cdot \vec u = a-2b-c = 0$

Impostiamo il sistema composto dalla precedente equazione e dal passaggio per O(0, 0, 0) e P(2, -4, 3)

$\left\{\begin{aligned} a-2b-c &= 0 \\ d &= 0 \\ 2a-4b+3c + d &= 0 \end{aligned} \right. $

la cui soluzione è:  a = 2b; b = b; c = 0; d = 0  (nota 3 equazioni, 4 incognite)

Poniamo la variabile libera b = 1.

Si ha così l'equazione del piano

• $Π: 2x+y = 0$

equazione del piano incognito : a·x + b·y + c·z = 0

In quanto passa per l'origine (termine noto nullo)

Il passaggio di questo piano per il punto P [2,-4,3] impone che sia:

a·2 + b·(-4) + c·3 = 0----> 2·a - 4·b + 3·c = 0

La perpendicolarità di esso con il piano: x - 2·y - z - 1 = 0

impone che la somma dei prodotti dei coefficienti omologhi sia nulla, quindi deve essere:

a - 2·b - c = 0

Osserviamo che le due equazioni in grassetto ottenute hanno i coefficienti di a e di b in proporzione fra loro e quindi il sistema da esse costituito fornisce soluzione solo nel caso in cui c=0 (altrimenti sarebbe impossibile).

Quindi deve essere a = 2·b ∧ c = 0 per cui si ha:

2·b·x + b·y + 0·z = 0---> 2·b·x + b·y = 0 e posto b ≠ 0 il piano incognito risulta essere:

2·x + y = 0