Problema ottimizzazione

Lo svolgimento dell'esercizio 45 comporta la risoluzione di più problemi diversi fra loro.
1) Scrivere le coordinate del punto P, cursore sul ramo nel primo quadrante dell'iperbole y = (x + 1)/x (problema di tipo: parametrizzazione).
2) Esprimere, in funzione del parametro scelto al #1, la distanza di P dalla retta r ≡ x + 4*y - 4 = 0 (problema di tipo: consultazione e applicazione).
3) Minimizzare la funzione scritta al #2 rispetto al parametro scelto al #1 (problema di tipo: test delle derivate).
4) Specializzare il punto P per il valore calcolato al #3 (problema di tipo: valutazione di espressioni).
5) Il quinto tipo è quello dell'intero esercizio 45: risoluzione di problemi in cascata.
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Ora (a meno che il contesto non sia di tecnica tipografica o di esegesi biblica) nel linguaggio comune il nome tipologia indica un insieme di tipi raggruppati in base a una o più proprietà in comune (un nodo di una tassonomia).
Quando tu chiedi se «c'è un modo per capire questa tipologia di problemi» e dichiari «ho proprio difficoltà a comprendere come svolgerli.» io ho proprio difficoltà a rendermi conto di quali proprietà in comune tu abbia visto fra le attività
* parametrizzare
* consultare e applicare
* calcolare le derivate prima e seconda
* valutare espressioni
* risolvere problemi in cascata
che a me sembrano del tutto scollegate l'una dall'altra.
L'unica lettura sensata della tua domanda che mi viene in mente è «C'è un modo per capire come risolvere una cascata di problemi?» e la mia risposta non può essere altro che tautologica «Sì che c'è: impratichirsi dei problemi che la compongono.»
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Risoluzione dell'esercizio 45
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1) P(k, (k + 1)/k), con k > 0.
2) r ≡ x + 4*y - 4 = 0 ≡ y = 1 - x/4 → R(h, 1 - h/4)
* |Pr| = d = |(k^2 + 4)/k|/√17, con k > 0 ≡ d(k) = (k + 4/k)/√17
3) d'(k) = (1 - 4/k^2)/√17; d''(k) = 8/((√17)*k^3)
* (d'(k) = 0) & (d''(k) > 0) & (k > 0) ≡
≡ (1 - 4/k^2 = 0) & (k^3 > 0) & (k > 0) ≡ k = 2
4) P(k, (k + 1)/k) = (2, 3/2)
che è proprio il risultato atteso (e calcolato in meno di dieci righe).

x + 4·y - 4 = 0----> y = 1 - x/4

m = - 1/4

{y = - 1/4·x + q

{y = (x + 1)/x

risolvo per sostituzione:

(x + 1)/x = - 1/4·x + q

((x + 1)/x = - 1/4·x + q)·4·x

4·(x + 1) = x·(4·q - x)

4·x + 4 - (4·q·x - x^2) = 0

x^2 + x·(4 - 4·q) + 4 = 0

Δ/4 = 0 condizione di tangenza

(2 - 2·q)^2 - 4 = 0----> 4·q^2 - 8·q = 0

4·q·(q - 2) = 0---->  q = 2 ∨ q = 0 

x^2 + x·(4 - 4·2) + 4 = 0----> x^2 - 4·x + 4 = 0

(x - 2)^2 = 0----> x = 2

per q=0 si ottiene: x = -2

Quindi :

y = (2 + 1)/2---> y = 3/2

P(2,3/2)