[Risolto] Problema n. 368 geometria

"Ho difficoltà allo svolgimento dell'esercizio" Vedi oltre.
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Misure in cm, cm^2.
Gli angoli interni ai vertici {A, B, C} sono {α, β, γ}.
I lati opposti ai vertici {A, B, C} sono {a = |BC|, b = |AC|, c = |AB|}.
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I dati di quest'esercizio sono
* α = 30°
* c = |AB| = 12
* b = |AC| = 20
da cui il teorema di Carnot risolve il triangolo in
* a = √(b^2 + c^2 - 2*b*c*cos(α)) = 4*√(34 - 15*√3) ~= 11.33
* b = 20 = √((4*√(34 - 15*√3))^2 + 12^2 - 2*(4*√(34 - 15*√3))*12*cos(β)) ≡
≡ β = arccos(orroreDattilografico) ~= 118°
≡ γ = 180° - (α + β) ~= 180° - (30° + 118°) = 32°
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Nel riferimento Oxy definisco e/o calcolo
* A(0, 0), B(12, 0)
* AC ≡ y = x/√3 (= x*tg(30°))
* (y = x/√3) & (x^2 + y^2 = b^2 = 400 ≡ luogo dei C distanti 20 da A) ≡ C(10*√3, 10)
Il fascio ortogonale ad AC è
* p(q) ≡ y = q - (√3)*x
fra cui quella per B(12, 0) è
* BD ≡ p(12*√3) ≡ y = - (√3)*(x - 12)
di pendenza "m = - √3" e da cui si ha
* (y = x/√3) & (y = - (√3)*(x - 12)) ≡ D(9, 3*√3)
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Il punto P, cursore del segmento AB per 0 <= k <= 1, è
* P(12*k, 0)
da cui passa la
* p((12*√3)*k) ≡ y = (√3)*(12*k - x)
che interseca AC in
* (y = x/√3) & (y = (√3)*(12*k - x)) ≡ H(9*k, (3*√3)*k)
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PROBLEMA
"Preso un punto P su AB, trovare P in modo che PD^2 + 2AH^2= 124 cm^2" ≡
≡ Determinare k tale che
* |PD|^2 + 2*|AH|^2 = 124 ≡
≡ ((12*k - 9)^2 + 27) + 2*((6*√3)*k) = 124 ≡
≡ k^2 + ((√3 - 18)/12)*k - 1/9 = 0
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* (k^2 + ((√3 - 18)/12)*k - 1/9 = 0) & (0 <= k <= 1) ≡
≡ IMPOSSIBILE
quindi "Preso un punto P su AB" NON SIGNIFICA "sul segmento AB", ma "sulla retta AB"
* k^2 + ((√3 - 18)/12)*k - 1/9 = 0 ≡
≡ (k1 = (18 - √3 - √(391 - 36*√3))/24 ~= - 0.078)
oppure
≡ (k2 = (18 - √3 + √(391 - 36*√3))/24 ~= + 1.433)
in analogia col risultato atteso
* "La risposta é PH = 4 cm"
calcolo
* |PH| = 6*k
* per k1: |PH| = (18 - √3 - √(391 - 36*√3))/4 ~= - 0.465 != 4
* per k2: |PH| = (18 - √3 + √(391 - 36*√3))/4 ~= + 8.599 != 4
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"Ho difficoltà a disegnare la figura"
Non saprei cosa suggerirti, dopo quello che ho cazzeggiato qui sopra.

Ciao @beppe

Ho visto questo esercizio ora. Purtroppo ho sonno. Domani se riesco ti offrirò una soluzione. Intanto una figura su cui poter ragionare.

Ti devi ricordare che per  α = 30° , il coefficiente angolare della retta AC è m = √3/3, quindi il coefficiente angolare di una retta perpendicolare ad essa è m = - √3

Facendo riferimento quindi alla figura allegata, determini la retta BD:

y - 0 = - √3·(x - 12)----- >  y = 12·√3 - √3·x

Questa la metti a sistema:

{y = √3/3·x

{y = 12·√3 - √3·x

Risolvi ed ottieni: [x = 9 ∧ y = 3·√3]------   > D(9, 3·√3)

Quindi determini PD^2

PD^2=(x - 9)^2 + (0 - 3·√3)^2 = x^2 - 18·x + 108

Poi AH^2 osservando che il triangolo APH è la metà di un triangolo equilatero in cui AH è la sua altezza e quindi vale ΑΗ = √3/2·x

Quindi scrivi:

x^2 - 18·x + 108 + 2·(√3/2·x)^2 = 5·x^2/2 - 18·x + 108 = 124

Quindi risolvi l’equazione:

5·x^2 - 36·x + 216 = 248---- > x = - 4/5 ∨ x = 8

La prima la scarti hai quindi i risultati di figura. Ciao @beppe