[Risolto] problema moto parabolico

OSSERVAZIONI SUL TESTO
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Ti reputi una Maestà che dici "abbiamo" per riferirti al TUO esercizio? Mi dovrei inchinare?
(Rocco Schiavone direbbe «Abbiamo? Mecojoni!»).
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Un proiettile lanciato con alzo θ = 60° e velocità V = 100 m/s = 360 km/h è per un tiro a mortajo, lento, in montagna; perciò al quesito "come si fa a determinare ..." la sola risposta corretta è: usando le Tavole del Picone. A un problema di dinamica così complesso non c'è soluzione analitica, e anche quella numerica richiede parecchia Alta Matematica.
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Ma il titolo "moto parabolico" indica che tu pensavi che fosse un problema di cinematica, vero? Perché la traiettoria dei proiettili con le parabole ci ha solo una vaga somiglianza, mica è moto parabolico! Parabolico è invece il moto di un punto materiale lanciato con velocità V = 100 m/s e alzo θ = 60°.
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RIPASSO
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Un punto materiale lanciato dalla posizione Y(0, h) con velocità di modulo V e alzo θ (con V > 0 e θ in [- π/2, π/2]) ha la posizione istantanea P(x, y) data da
* x(t) = V*cos(θ)*t
* y(t) = h + (V*sin(θ) - (g/2)*t)*t
e la velocità istantanea v(t) = (V*cos(θ), vy(t)) data da
* vx(t) = V*cos(θ)
* vy(t) = V*sin(θ) - g*t
NOTE
1) Senza il valore locale per l'accelerazione di gravità si deve usare lo standard SI
* g = 9.80665 = 196133/20000 m/s^2
2) La traiettoria percorsa si ricava eliminando il parametro tempo dalle equazioni delle coordinate.
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ESERCIZIO
come si fa a determinare il culmine e la gittata?
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Con i dati
* h = 0
* V = 100 m/s
* θ = 60° = π/3
si ha
* x(t) = 100*cos(π/3)*t = 50*t
* y(t) = (100*sin(π/3) - (g/2)*t)*t = (50*√3 - (g/2)*t)*t
* vx(t) = 100*cos(π/3) = 50
* vy(t) = 100*sin(π/3) - g*t = 50*√3 - g*t
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Il culmine della traiettoria è la posizione nell'istante T > 0 in cui la velocità verticale s'annulla prima d'invertirsi verso il basso
* vy(T) = 50*√3 - g*T = 0 ≡ T = 50*√3/g = 50*√3/9.80665 ~= 8.831 s
* x(T) = 50*50*√3/9.80665 ~= 441.550 m
* y(T) = (50*√3 - (9.80665/2)*50*√3/9.80665)*50*√3/9.80665 ~= 382.394 m
"l’altezza" è poco più di 382 metri.
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La gittata è l'ascissa x(T) della posizione d'impatto al suolo, cioè nell'istante T > 0 in cui l'ordinata s'annulla
* (y(T) = (50*√3 - (g/2)*T)*T = 0) & (T > 0) ≡
≡ T = 100*√3/9.80665 ~= 17.662 s
* x(T) = 5000*√3/9.80665 ~= 883.100 m
La gittata è pochissimo più di 883 metri.

Ti ricavi le due componenti della velocità iniziale tramite l'angolo di alzata:

{η = v·COS(θ)

{μ = v·SIN(θ)

Scrivi le tre equazioni:

{x = η·t

{y = μ·t - 1/2·g·t^2

{v = μ - g·t

Poni v=0 nell'ultima ed ottieni: 0 = μ - g·t----> t = μ/g 

che è la metà del tempo di volo complessivo (salita+ discesa)

calcoli l'altezza:

y=h=y = μ·(μ/g) - 1/2·g·(μ/g)^2-----> h = μ^2/(2·g)

La gittata del proiettile è:      x = d = η·(μ/g)

Numericamente:

{η = 100·COS(60°)-------> η = 50 m/s (componente orizzontale iniziale della velocità)

{μ = 100·SIN(60°)---------> μ = 50·√3 m/s (componente verticale iniziale della velocità)

h=(50·√3)^2/(2·9.806) = 382.42 m

d=50·(50·√3/9.806) = 441.58 m

Le informazioni disponibili sono la velocità iniziale Vo di un proiettile  uguale a 100 m/s e l’angolo Θ° di 60°; come determinare l’altezza h e la gittata G del proiettile?

gittata G = Vo^2/g*sin (2Θo)

G = 10^4/9,8066*0,866 = 883,1 m

altezza massima raggiunta = hmax = (Vo*sin 60°)^2/2g

hmax = (100^2*3/4)/(2*9,8066) = 382,40 m 

La velocità iniziale di un proiettile è uguale a 100 m/s e l’angolo di 60°, come si fa a determinare l’altezza e la gittata del proiettile?

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Componente orizzontale della velocità $\small v_{0x}= v_0×cos(\alpha) = 100×cos(60°) = 50\,m/s;$ 

componente verticale della velocità $\small v_{0y}= v_0×sen(\alpha) = 100×sen(60°) = 86,6\,m/s;$ 

altezza massima raggiunta $\small h_{max}= \dfrac{(v_{0y})^2}{2g} = \dfrac{86,6^2}{2×9,80665} = \dfrac{7499,56}{19,6133}\approx{382,37}\,m;$

gittata $\small L= \dfrac{2×v_{0x}×v_{0y}}{g} = \dfrac{2×50×86,6}{9,80665} = \dfrac{8660}{9,80665} \approx{883,07}\,m.$