[Risolto] Problema moto parabolico

@rob2005

Ciao di nuovo.

Credo che tu possa risolvere il problema proposto tramite le relazioni che conosci e che costituiscono le leggi orarie delle due palline:

Pallina 1

{y = v·SIN(α)·t - 1/2·g·t^2

{x = v·COS(α)·t

{V1 = v·SIN(α) - g·t

Pallina 2

{y = v·SIN(β)·t - 1/2·g·t^2

{x = v·COS(β)·t

{V2 = v·SIN(β) - g·t

Ove nelle relazioni di sopra deve essere

α + β = pi/2

x=gittata = 5.73 m  in entrambi i casi

y2 max-y1 max = 0.693m

Domanda: Determina il modulo della velocità iniziale v ed il valore dei due angoli di lancio α e β

Domani, se ho tempo e voglia, vedrò di risolvere tale problema.

Finiamo di rispondere....

Calcolo della gittata

Se gli angoli sono complementari fra loro facciamo vedere che la gittata è la stessa.

Ricordiamo come si ottiene:

si pone y=0 e si ottiene t

0 = v·SIN(α)·t - 1/2·g·t^2------> t = 2·v·SIN(α)/g ∨ t = 0

x = v·COS(α)·(2·v·SIN(α)/g)-----> x = 2·v^2·SIN(α)·COS(α)/g

Quindi:  x = v^2·SIN(2·α)/g

Ovviamente con alzata complementare:

x = 2·v^2·SIN(β)·COS(β)/g=2·v^2·SIN(pi/2 - α)·COS(pi/2 - α)/g =2·v^2·SIN(α)·COS(α)/g

Quindi la gittata è sempre la stessa a parità di v iniziale (ovviamente cambia al variare di v)

---------------------------------------------------

Calcolo dell'altezza massima 

L'altezza massima è diversa nei due casi. Calcolo del tempo t:

V1 = 0------> v·SIN(α) - g·t = 0----> t = v·SIN(α)/g

Quindi: y = v·SIN(α)·(v·SIN(α)/g) - 1/2·g·(v·SIN(α)/g)^2

y = v^2·SIN(α)^2/(2·g) altezza massima pallina 1

Analogamente, pallina 2:

y = v^2·SIN(β)^2/(2·g) = v^2·SIN(pi/2 - α)^2/(2·g) 

y = v^2·COS(α)^2/(2·g)--------> y = v^2·COS(α)^2/(2·g) altezza massima pallina 2

Quindi la differenza:

v^2·COS(α)^2/(2·g) - v^2·SIN(α)^2/(2·g) = 0.693

v^2/g·COS(2·α) = 0.693·2

Che si mette a sistema con la gittata:

{v^2/g·COS(2·α) = 1.386

{v^2·SIN(2·α)/g = 5.73

dividendo membro a membro: TAN(2·α) = 955/231-----> α = 0.6667349728 in radianti

in gradi sessadecimali: 0.6667349728/pi = α/180-----> α = 38.2011 °

L'altro: β = 90° - 38.2011°----> β = 51.7989 °

v la calcoli dalla seconda di x

v^2·SIN(2·0.6667349728)/9.806 = 5.73-----> v = 7.603 m/s

@Rob2005

Premetto di considerare il moto parabolico di punti materiali, e non d'altro.
Con le misure in millimetri, si tratta di determinare due parabole del fascio basato in (0, 0) e (5730, 0), con vertici distanti 693 e con aperture negative.
---------------
Pertanto l'equazione del fascio, parametrica nell'apertura a != 0, è
* Γ(a) ≡ y = a*(x - 5730)*x ≡ y = a*(x - 2865)^2 - a*8208225
con vertici V(2865, - a*8208225) e pendenze
* dy/dx = m(x) = 2*a*(x - 2865)
che nel punto di lancio vale
* m(0) = - 5730*a
---------------
Che i valori di alzo delle due traiettorie siano complementari vuol dire che le due pendenze all'origine sono inverse.
Con valori di apertura (h, k) si deve avere
* (|- 8208225*(h - k)| = 693) & (- 5730*h*(- 5730*k) = 1) ≡
≡ (h = (√965386 + 231)/5472150) & (k = (√965386 - 231)/5472150) o viceversa
Se davvero le risposte sono questi numeracci allora gli alzi sono
* α = arctg(5730*(√965386 + 231)/5472150) rad ~= 51° 47' 56.04''
* β = arctg(5730*(√965386 - 231)/5472150) rad ~= 38° 12' 3.96''
e vediamo un po'
* α + β = (51° 47' 56.04'') + (38° 12' 3.96'') = 90°
MIRACOLO, i numeracci sono proprio quelli (che esercizio del cavolo)!
---------------
Poiché con velocità di lancio V e alzo θ la gittata, da terra a terra, è
* X = (sin(2*θ)/g)*V^2
si ha
* V = √(g*X/sin(2*θ))
da cui, con
* X = 5730 mm = 573/100 m
* g = 9.80665 = 196133/20000 m/s^2
* sin(2*θ) = sin(2*arctg(5730*(√965386 - 231)/5472150)) ~=
~= 0.9719700286780173
* sin(2*θ) = sin(2*arctg(5730*(√965386 - 231)/5472150)) =
= sin(2*arctg(5730*(√965386 + 231)/5472150)) ~=
~= 0.97197
si valuta
* V = √(g*X/sin(2*θ)) ~= 7.603459 ~= 7.603 m/s

https://it.wikipedia.org/wiki/Moto_parabolico

gittata = vo^2sen(2theta)/g = 5.73 m
ym = vo^2sen²theta/(2g)

ym1 = vo^2sen²(pi/2 -theta)/(2g)

ym -ym1 = vo^2(sen^2theta-sen^2(pi/2 -theta))/(2g) = 0.693

con theta = a , vo =x , g =~9.81  ... da wolfram

Una pallina di gomma viene lanciata due volte con lo stesso modulo V della velocità e a due angoli (Θ e 90-Θ) complementari. In entrambi i casi la gittata del lancio vale d = 5,73 m. La differenza tra le due quote massime raggiunte dalla pallina nei due lanci vale Δh = 0,693 m.

Determina il modulo della velocità iniziale Ved il valore dei due angoli di lancio. 

...rammentando che che sin (90-Θ) = cos Θ si ha :

 moto verticale :

Δh = (V^2*cos^2(Θ)/(2g)) - (V^2*sin^2(Θ)/(2g)) = 0,693

V^2/g*cos(2Θ) = 1,386

moto orizzontale :

V^2*sin(2Θ)/g = 5,73

Si mettono a sistema i due moti:

{V^2/g*cos(2Θ) = 1,386

{V^2/g*sin(2Θ) = 5,73

se ne fa il rapporto :

tan(2Θ) = 4,1342

Θ =( arctan 4,1342)/2 = 38,20°

90-Θ = 51,80°

V = √5,73*9,8066/sin 76,40° = 7,6035 m/s