problema matematico

PA= √((x + 1.5)^2 + 4^2)=

=√(x^2 + 3·x + 73/4)

PE= √(x^2 + 4.5^2)=

=√(4·x^2 + 81)/2

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√(x^2 + 3·x + 73/4) + √(4·x^2 + 81)/2 = 16

√(x^2 + 3·x + 73/4) = 16 - √(4·x^2 + 81)/2

elevo al quadrato entrambi i due membri:

(4·x^2 + 12·x + 73)/4 = (√(4·x^2 + 81) - 32)^2/4

4·x^2 + 12·x + 73 = (√(4·x^2 + 81) - 32)^2

4·x^2 + 12·x + 73 = - 64·√(4·x^2 + 81) + 4·x^2 + 1105

64·√(4·x^2 + 81) = 4·x^2 + 1105 - (4·x^2 + 12·x + 73)

64·√(4·x^2 + 81) = 1032 - 12·x

elevo ancora al quadrato:

4096·(4·x^2 + 81) - 144·(x - 86)^2 = 0

(16384·x^2 + 331776) - (144·x^2 - 24768·x + 1065024) = 0

16240·x^2 + 24768·x - 733248 = 0

1015·x^2 + 1548·x - 45828 = 0

Risolvo:

x = - 7638/1015 ∨ x = 6 m

Verifica per la soluzione in grassetto:

√(6^2 + 3·6 + 73/4) + √(4·6^2 + 81)/2 = 16

17/2 + 15/2 = 16

16 = 16   OK!!

(verifica necessaria per evitare radici estranee)

BC = 16 m;   CD = 1,5 m;  PD = x;

CE = 4,5 m;   AC = 4 m;

PA + PE = 16 m;

PA^2 + PE^2 + 2 * PA * PE = 16^2;

PA^2 + PE^2 =  16^2 - 2 * PA * PE;

PB + PD = 16 - 1,5 m;

PA^2 = (x + 1,5)^2 + 4^2; teorema di Pitagora nel triangolo APC;

PE^2 = x^2 + 4,5^2; teorema di Pitagora nel triangolo PCE;

PA = radicequadrata[(x + 1,5)^2 + 4^2];

PE = radicequadrata[x^2 + 4,5^2];

PA + PE = 16 ;

radicequadrata[(x + 1,5)^2 + 4^2] +  radicequadrata[x^2 + 4,5^2] = 16;

radicequadrata[(x + 1,5)^2 + 4^2] = 16 -   radicequadrata[x^2 + 4,5^2];

{[radicequadrata(x + 1,5)^2 + 4^2]}^2 = {16 - radice[x^2 + 4,5^2]}^2;

elevando al quadrato, si elimina la radice a sinistra;

x^2 + 2,25 + 3x + 16 = 16^2 - 2 * 16 *  radice[(x^2 + 4,5^2)] + [x^2 + 4,5^2];

x^2 + 2,25 + 3x + 16 - [x^2 + 4,5^2] = 256 - 32 radice[(x^2 + 4,5^2)];

x^2 + 2,25 + 3x + 16 - x^2 - 20,25 - 256] = - 32 radice[(x^2 + 4,5^2)];

3x - 258 = 32 radice[(x^2 + 4,5^2)];  eleviamo al quadrato:

(3x - 258)^2 = {- 32 radice[(x^2 + 4,5^2)]}^2;

9x^2 - 1548x + 66564 = 1024 * (x^2 + 20,25)

1024x^2 - 9x^2 + 1548x - 66564 + 20736 = 0;

1015 x^2 + 1548 x - 45828 = 0;

x = [- 774 +- radice(599076 + 4,6515 * 10^7)] / 1015,

x = [- 774 +- 6820,6606] / 1015;

x = [- 774 + 6820,6606] / 1015;

x = 6046,6606 / 1015 = 5,96 m;  (PD) circa 6 m;

PD = 6 m circa.

PB = 16 - 1,5 - 5,96 = 8,5 m;

Ciao @claudia_panacci

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Imposta la seguente equazione applicando il teorema di Pitagora:

$\small \sqrt{\overline{AC}^2+\overline{PC}^2}+\sqrt{\overline{DE}^2+\overline{PD}^2} = \overline{BC}$

$\small \sqrt{4^2+(x+1,5)^2}+\sqrt{4,5^2+x^2} = 16$

$\small \sqrt{16+x^2+3x+2,25}+\sqrt{20,25^2+x^2} = 16$

$\small \sqrt{x^2+3x+18,25}+\sqrt{x^2+20,25^2} = 16$

porta una radice a destra ed eleva tutto al quadrato:

$\small \sqrt{x^2+3x+18,25} = (16-\sqrt{x^2+20,25^2})^2$

$\small x^2+3x+18,25 = 256-32\sqrt{x^2+20,25}+x^2+20,25$

$\small x^2+3x+18,25 = x^2+276,25-32\sqrt{x^2+20,25}$

$\small \cancel{x^2}-\cancel{x^2}+3x+18,25-276,25 = -32\sqrt{x^2+20,25}$

$\small 3x-258 = -32\sqrt{x^2+20,25}$

cambia i segni ed eleva al quadrato ambo le parti:

$\small (-3x+258)^2 = (32\sqrt{x^2+20,25})^2$

$\small 9x^2-1548x+66564 = 1024(x^2+20,25)$

$\small 9x^2-1548x+66564 = 1024x^2+20736$

$\small 9x^2-1548x-1024x^2 = 20736-66564$

$\small -1015x^2-1548x = -45828$

cambia i segni ed eguaglia a zero:

$\small 1015x^2+1548x -45828= 0$

equazione di secondo grado completa quindi risolvi con i seguenti dati:

$\small a= 1015;$

$\small b= 1548;$

$\small c= -45828;$

$\small \Delta= b^2-4ac = 1548^2-4·1015·(-45828) = 2396304-(-186061680)=2396304+186061680 = 188457984;$

applica la formula risolutiva:
$\small x_{1,2}= \dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-1548\pm\sqrt{188457984}}{2·1015} = \dfrac{-1548\pm13728}{2030}$

per cui:

$\small x_1= \dfrac{-1548-13728}{2030} = -7,525123$ che escludiamo in quanto negativo;

$\small x_2= \dfrac{-1548+13728}{2030} = 6;$

quindi per l'incognita PD cercata prendiamo $\small x= 6\,m.$

Per verifica sostituendo il valore trovato alla $\small x$:

$\small \sqrt{4^2+(6+1,5)^2}+\sqrt{4,5^2+6^2} = 16$

$\small \sqrt{16+7,5^2}+\sqrt{20,25+36} = 16$

$\small \sqrt{16+56,25}+\sqrt{56,25} = 16$

$\small \sqrt{72,25}+\sqrt{56,25} = 16$

$\small 8,5+7,5 = 16$

$\small 16 = 16$

Si tratta di un problema irrazionale con due radicali.

Vediamo dettagliatamente un possibile svolgimento a mano.