[Risolto] Problema matematica

Ciao!

a)

Per calcolare la variazione usiamo la formula:

$\Delta C_m = C_{m, finale}- C_{m, iniziale} = C_m(10)-C_m(0) = 10+\frac{16}{11}-0-\frac{16}{1} = \frac{110+16-176}{11} = -\frac{50}{11} \approx 4.54 $

b) Dato che dobbiamo trovare la funzione di cui $C_m$ è derivata, allora dobbiamo calcolarne l'integrale indefinito

$\int C_m \ dx = \int \big( x+\frac{16}{x+1} \big) \ dx = $

$= \int  x dx+\int \frac{16}{x+1} dx = $

$ = \frac{x^2}{2} + 16 \ln|x+1| +c $ che è la nostra funzione $C(x)$

Sapendo che $C(0)=0$ possiamo determinare il valore della costante di integrazione $c$

$C(0)=\frac12 0^2 + 16 \ln(1)+c = 0+0+c $ e deve essere $=0$

quindi $ c = 0$.

Quindi la nostra funzione è $C(x) = \frac{x^2}{2} + 16 \ln|x+1|$ 

$B(x) = ax^2+bx-16 \ln(x+1)$

$B(10) = 1.63$ e avendo massimo in $x = 7$ in quel punto la sua derivata deve essere nulla.
Calcoliamo la derivata: 

$B'(x) = 2ax+b-\frac{16}{x+1} $

quindi possiamo impostare il sistema:

$\begin{cases} B(10) = 1.63 \\ B'(7)= 0 \end{cases} $

$\begin{cases} a 10^2+b(10)-16 \ln(10+1) =1.63 \\ 14a+b-\frac{16}{8} = 0 \end{cases} $

$\begin{cases} 100a+10b-16 \ln(11) = 1.63 \\ 14a+b-2 = 0 \end{cases}$

Esplicitiamo $b = 2-14a$ e sostituiamo nella prima equazione, ottenendo:

$100 a +20-140a -16\ln(11) = 1.63 $

$-40a = 19.99 \approx 20 $

$ a = -\frac12 $ 

Dalla seconda equazione

$b = 2-14(-\frac12) = 2+7=9$

 

c)

Il massimo guadagno corrispondente a $x = 7$ si ha sostituendo $x = 7$ in $B(x)$:

$B(7) = -\frac12 \cdot 49 +9 \cdot 7 -16 \ln(8) = -24.5+63-33 = 5.5 $

d) Per trovare $x_0$ minimo affinché non si vada in perdita, bisogna calcolare $x_0$ che fa sì che il guadagno sia minimo, cioè $B(x_0)=0$:

$-\frac12 x^2 +9x-16\ln(x+1) = 0 $

facciamo un confronto grafico: $-\frac12 x^2 +9x = 16\ln(x+1) $

che quindi è circa tra $2.8$ e $2.85$

punto a) la funzione è perfettamente definita e continua nell'intervallo [0;10]. per x=0 vale 16, per x=10 vale 11.4545; non ci sono zeri, in quanto è sempre positiva in questo intervallo. studiando la derivata prima che vale $1-16/(x+1)^2$ si scopre che è è negativa per x<3, vale 0 per x=3 e poi è positiva; quindi la funzione ha un minimo in x=3 che vale 7.

La prima parte del punto B richiede il calcolo di una primitiva. devi trovare la primitica della funzione data. è un integrale immediato: $C(x)=1/2*x^2+16*ln(x+1) + c$ --> sapendo che C(0)=0, si ha $C(x)=1/2*x^2+16*ln(x+1)$