La funzione è data con f(X)=-x^2+9, i punti A e B che si trovano sull'asse × e C e D che si trovano sul grafico.
- Calcolare i valori per i quali l'area diventa massima;
Compito sprinter: - Calcolare i valori per i quali l'area diventa massima.
La funzione è data con f(X)=-x^2+9, i punti A e B che si trovano sull'asse × e C e D che si trovano sul grafico.
97
punti
Livello 1
Non é molto chiaro.
Ho capito che vuoi far passare una retta orizzontale y = k
in modo che sia massima l'area del rettangolo ABCD inscritto nel segmento parabolico.
L'altezza é k con 0 < k <= 9
Ponendo
-x^2 + 9 = k
x^2 = 9 - k
x = +- rad(9 - k)
La base é 2 rad (9 - k)
l'area é 2 k rad (9 - k)
e il massimo di questa corrisponde al massimo di
4 k^2 ( 9 - k) oppure anche del polinomio
9 k^2 - k^3.
Se non si possono usare le DERIVATE, non saprei come fare
Altrimenti i punti stazionari sono le radici di 18 k - 3 k^2 = 0
3k ( 6 - k ) = 0 => k = 0 e k = 6
La derivata seconda é 18 - 6 k
ed é negativa per k = 6 che é pertanto un punto di massimo relativo
( e anche assoluto perché l'area S(k) vale 0 agli estremi di [0,9] )
Smax = 2*6 * rad(9 - 6) = 12 rad 3
58342
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Livello 7
@eidosm chiedo scusa, ho sbagliato scritta, ora lo rimetto
L'area S del rettangolo inscritto nel segmento parabolico delimitato dall'asse x e dalla
* Γ(a) ≡ y = (a + x)*(a - x)
di vertici, con 0 < k < a
* A(- k, 0), B(k, 0), C(k, a^2 - k^2), D(- k, a^2 - k^2)
ha l'espressione
* S(k) = 2*k*(a + k)*(a - k)
con
* S(0) = S(± a) = 0 < S(k) <= S(a/√3) = 4*a^3/(3*√3)
---------------
Per a = 3, il valore del tuo caso, si ha
* S(k) = 2*k*(3 + k)*(3 - k)
con
* S(0) = S(± 3) = 0 < S(k) <= S(√3) = 12*√3
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DETTAGLI
* f(x) = y = 2*x*(a + x)*(a - x)
* f'(x) = dy/dx = 2*(a^2 - 3*x^2)
* f'(x) = - 12*x
la condizione di massimo relativo è il sistema
* (f'(x) = 0) & (f'(x) < 0) & (0 < x < a) ≡
≡ (2*(a^2 - 3*x^2) = 0) & (- 12*x < 0) & (0 < x < a) ≡
≡ (a^2 = 3*x^2) & (0 < x < a) ≡
≡ x = a/√3
57798
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