[Risolto] problema matematica

Riconoscere una conica

a·x^2 + b·x·y + c·y^2 + d·x + e·y + f = 0

Bisogna calcolare il

Δ = b^2 - 4·a·c

Se risulta:

Δ < 0 la conica è un'ellisse

Δ = 0 la conica è una parabola

Δ > 0 la conica è un'iperbole

inoltre, se è un'iperbole e risulta:

a + c = 0 è un'iperbole equilatera

Se dovesse risultare:

a = c ∧ b = 0 la conica è una circonferenza (particolare ellisse)

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Nel nostro caso abbiamo:

x^2 + 2·k·y^2 - k·x + (k + 3)·y - 2 = 0

Quindi deve essere  Δ > 0

Interessano quindi i coefficienti a,b,c:

a = 1

b = 0

c = 2·k

Δ = 0^2 - 4·1·2·k = - 8·k

- 8·k > 0-----> k < 0

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k = -3/4

x^2 + 2·(- 3/4)·y^2 - (- 3/4)·x + (- 3/4 + 3)·y - 2 = 0

x^2 + 3·x/4 - 3·y^2/2 + 9·y/4 - 2 = 0

Quindi metto a sistema:

{4·x^2 + 3·x - 6·y^2 + 9·y - 8 = 0

{x = a

- 6·y^2 + 9·y + 4·a^2 + 3·a - 8 = 0 (per sostituzione)

Δ = 0 condizione di tangenza

9^2 + 24·(4·a^2 + 3·a - 8) = 0

96·a^2 + 72·a - 111 = 0

Risolvo: a = - √83/8 - 3/8 ∨ a = √83/8 - 3/8

Ascissa del centro iperbole:

1/2·(- √83/8 - 3/8 + √83/8 - 3/8) = - 3/8

Ordinata centro iperbole:

- 6·y^2 + 9·y + 4·(- √83/8 - 3/8)^2 + 3·(- √83/8 - 3/8) - 8 = 0

- 6·y^2 + 9·y - 27/8 = 0

risolvo: y = 3/4

Quindi: [- 3/8, 3/4]

che verificano y=-2x

Non ci riesci perché non si può!
Non esiste nessun valore di nessun parametro per cui un'equazione possa rappresentare "un iperbole" al maschile: le coniche tutte fimmine sono, ah!
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L'equazione
* Γ(k) ≡ x^2 + 2*k*y^2 - k*x + (k + 3)*y - 2 = 0 ≡
≡ x^2 - k*x + 2*k*y^2 + (k + 3)*y - 2 = 0 ≡
≡ (x - k/2)^2 - (k/2)^2 + 2*k*(y + (k + 3)/(4 k))^2 - (k + 3)^2/(8*k) - 2 = 0 ≡
≡ (x - k/2)^2 + 2*k*(y + (k + 3)/(4*k))^2 = (2*k^3 + k^2 + 22*k + 9)/(8*k) ≡
≡ (x - k/2)^2/(8*k/(2*k^3 + k^2 + 22*k + 9)) + (y + (k + 3)/(4*k))^2/(4/(2*k^3 + k^2 + 22*k + 9)) = 1
rappresenta una famiglia di coniche a centro, non degeneri per quasi ogni valore di k, di forma
* Γ ≡ (x - α)^2/a^2 ± (y - β)^2/b^2 = ± 1
con i quattro parametri: semiassi (a, b) e coordinate del centro C(α, β), che sono iperboli se e solo se
* (a^2)*b^2 < 0 ≡
≡ (8*k/(2*k^3 + k^2 + 22*k + 9))*4/(2*k^3 + k^2 + 22*k + 9) < 0 ≡
≡ k/(2*k^3 + k^2 + 22*k + 9)^2 < 0 ≡
≡ (k < 0) & (2*k^3 + k^2 + 22*k + 9 != 0) ≡
≡ (k < 0) & (k != K0 = (-1 - 131/∛(6*√64767 - 289) + ∛(6*√64767 - 289))/6 ~= - 0.4)
in quanto Γ(K0) degenera sugli asintoti.
Inoltre noto en passant che
* Γ(0) ≡ x^2 + 3*y - 2 = 0
è una parabola.
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Eliminando il parametro dalle coordinate dei centri si ha
* (x = k/2) & (y = - (k + 3)/(4*k)) ≡
≡ (k = 2*x) & (y = - (2*x + 3)/(8*x))
che il luogo dei centri è un'iperbole (al femminile).
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Verifiche
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a) "per k = - 3/4, il centro è sulla retta di equazione y = - 2*x" ≡ yC = - 2*xC ≡
≡ - (k + 3)/(4*k) = - 2*k/2 ≡
≡ (k = - 3/4) oppure (k = 1) ≡ verificato
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b) "per k = - 1/3, l'asse di simmetria è la retta di equazione y = 2" ≡ yC = 2 ≡
≡ - (k + 3)/(4*k) = 2 ≡
≡ k = - 1/3 ≡ verificato