[Risolto] Problema integrale

@frank9090

Ciao di nuovo.

Circonferenza:  (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = (3·√2)^2

Quindi la sviluppo e la metto a sistema :

{x^2 + y^2 - 4·x + 6·y - 5 = 0

{y = 0

Risolvo il sistema per sostituzione ed ottengo: [x = -1 ∧ y = 0, x = 5 ∧ y = 0]

Cioè:

A[-1, 0]  e B [5, 0]

Quindi la parabola è del tipo:

y = a·(x + 1)·(x - 5)

Determino ora la tangente alla circonferenza nel punto A tramite le formule di sdoppiamento:

- 1·x + 0·y - 4·(x - 1)/2 + 6·(y + 0)/2 - 5 = 0

- 3·x + 3·y - 3 = 0-----> y = x + 1

Essendo la retta comune come tangente alla parabola, metto a sistema:

{y = a·(x + 1)·(x - 5)

{y = x + 1

per sostituzione:

x + 1 = a·x^2 - 4·a·x - 5·a

a·x^2 - x·(4·a + 1) - 5·a - 1 = 0

Impongo la condizione di tangenza:

Δ = 0

(4·a + 1)^2 + 4·a·(5·a + 1) = 0

(16·a^2 + 8·a + 1) + (20·a^2 + 4·a) = 0

36·a^2 + 12·a + 1 = 0-----> (6·a + 1)^2 = 0--> a = - 1/6

Quindi la parabola: 

y = (- 1/6)·x^2 - 4·(- 1/6)·x - 5·(- 1/6)---> y = - x^2/6 + 2·x/3 + 5/6

Riprendo la circonferenza e la risolvo rispetto ad y ottenendo:

y = - √(- x^2 + 4·x + 14) - 3 ∨ y = √(- x^2 + 4·x + 14) - 3

Considero solo la parte in grassetto

Quindi procedo al calcolo integrale per la determinazione dell'area

∫(- x^2/6 + 2·x/3 + 5/6)dx = - x^3/18 + x^2/3 + 5·x/6

- 5^3/18 + 5^2/3 + 5·5/6=50/9

- (-1)^3/18 + (-1)^2/3 + 5·(-1)/6= - 4/9

Quindi integrale definito:

50/9 + 4/9 = 6

Altro integrale:

∫(√(- x^2 + 4·x + 14) - 3) dx=

=9·ASIN(√2·x/6 - √2/3) + (x - 2)·√(- x^2 + 4·x + 14)/2 - 3·x

Quindi:

9·ASIN(√2·5/6 - √2/3) + (5 - 2)·√(- 5^2 + 4·5 + 14)/2 - 3·5 = 9·pi/4 - 21/2

9·ASIN(√2·(-1)/6 - √2/3) + (-1 - 2)·√(- (-1)^2 + 4·(-1) + 14)/2 - 3·(-1) =

=- 9·pi/4 - 3/2

Quindi integrale definito

9·pi/4 - 21/2 + (9·pi/4 + 3/2) = 9·pi/2 - 9

Quindi finalmente:

6 - (9·pi/2 - 9) = 15 - 9·pi/2