[Risolto] Problema integrale

y = a/x

passaggio per A[2, 3]

3 = a/2-----> a = 6

Quindi: y = 6/x

Determino B:

per x=6-----> y = 6/6----> y = 1

Quindi: B[6, 1]

Riscrivo iperbole: x·y = 6

Determino le rette tangenti r ed s tramite:

retta r per A[2,3]

(3·x + 2·y)/2 = 6----> y = 6 - 3·x/2

retta s per B[6,1]

(x + 6·y)/2 = 6-----> y = 2 - x/6

Le metto a sistema e determino il punto C

{y = 6 - 3·x/2

{y = 2 - x/6

risolvo ed ottengo: x = 3 ∧ y = 3/2

quindi: C [3 , 3/2]

Osservo che l' iperbole è sopra le rette tangenti quindi, determino l'area richiesta con due integrali che dopo sommerò.

6/x - (6 - 3·x/2) = (3·x^2 - 12·x + 12)/(2·x)

1° integrale tra x=2 ed x=3

∫((3·x^2 - 12·x + 12)/(2·x)) dx = 6·LN(x) + 3·x^2/4 - 6·x

6·LN(3) + 3·3^2/4 - 6·3 valutato in 3

6·LN(2) + 3·2^2/4 - 6·2 valutato in 2

6·LN(3) + 3·3^2/4 - 6·3 - (6·LN(2) + 3·2^2/4 - 6·2) = 6·LN(3/2) - 9/4

2° integrale tra x=3 ed x=6

6/x - (2 - x/6) = (x^2 - 12·x + 36)/(6·x)

∫((x^2 - 12·x + 36)/(6·x)) dx = 6·LN(x) + x^2/12 - 2·x

6·LN(6) + 6^2/12 - 2·6 valutato in 6

6·LN(3) + 3^2/12 - 2·3 valutato in 3

6·LN(6) + 6^2/12 - 2·6 - (6·LN(3) + 3^2/12 - 2·3) = 6·LN(2) - 15/4

Sommo i due integrali ed ottengo l'area che si vuole determinare:

(6·LN(3/2) - 9/4) + (6·LN(2) - 15/4) = 6·LN(3) - 6

Da
* Γ ≡ y = a/x
si ha che l'appartenenza di A(2, 3) vuol dire 3 = a/2, cioè
* Γ ≡ y = 6/x
quindi B(6, 1) e pendenza
* m(x) = dy/dx = - 6/x^2
da cui
* m(2) = - 6/2^2 = - 3/2
* m(6) = - 6/6^2 = - 1/6
* r ≡ y = 3 - (3/2)*(x - 2) = 6 - 3*x/2
* s ≡ y = 1 - (1/6)*(x - 6) = 2 - x/6
* r & s ≡ (y = 6 - 3*x/2) & (y = 2 - x/6) ≡ C(3, 3/2)
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Quesito "c"
* H(2, 0), K(6, 0), |HK| = 6
Aree
* trapezio HKBA: S(HKBA) = (6 - 2)*(3 + 1)/2 = 8
* trapezio mistilineo HKBA: Sm(HKBA) = ∫ [x = 2, 6] 6*dx/x = 6*ln(3)
* triangolo ABC: S(ABC) = 2
* triangolo mistilineo ABC: Sm(ABC) = S(ABC) - (S(HKBA) - Sm(HKBA)) =
= 2 - (8 - 6*ln(3)) =
= 6 (ln(3) - 1)
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DETTAGLI
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Integrale
* f(x) = 6/x
* F(x) = ∫ f(x)*dx = 6*ln(x) + c
* I(f, a, b) = F(b) - F(a) = 6*ln(b/a)
* I(f, 2, 6) = 6*ln(6/3) = 6*ln(3)
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S(ABC)
http://www.sosmatematica.it/forum/postid/111963/