Problema goniometria

a.   

• Dominio. Si tratta di una funzione trascendente fratta; è definita per tutti i valori reali salvo quelli che annullano il denominatore.

$ cosx \ne 1 \; ⇒ \; x \ne 2k\pi; \text{   con   } k\in\mathbb{Z} $

Dominio = ℝ\{2kπ}     con $ k\in\mathbb{Z} $

nota. La funzione è continua laddove definita.

• Punti intersezione con asse delle x, ovvero gli zeri della funzione.

$ y(x) = 0 \; ⇒ \; sinx = 0 \; ⇒ \; x = k\pi; \text{   con   } k\in\mathbb{Z} $

b. y(x) ≤ 3 in [0, 2π]

$ |\frac{sinx}{cosx -1}| \le 1 $     che equivale a

$ -1 \le \frac{sinx}{cosx -1} \le 1 $     abbiamo così eliminato il modulo.

Risolviamo separatamente le due disequazioni.

i) $ \frac{sinx}{cosx -1} \le 1 $
$\frac{sinx}{cosx -1} -1 \le 0 $
$\frac{sinx-cosx+1}{cosx -1} \le 0 $

Osserviamo che nel dominio il denominatore è negativo quindi la disequazione si riduce

$ sinx-cosx+1 \ge 0$

La cui soluzione per le x del dominio è

$ 0 < x \le \frac{3}{2}\pi $

ii) $ -1 \le \frac{sinx}{cosx-1} $

$ \frac{sinx}{cosx-1} +1 \ge 0$      denominatore negativo nel Dominio

$ sinx+cosx-1 \le 0$

La cui soluzione è

$ \frac{\pi}{2} \le x \le 2\pi $

La soluzione S che cerchiamo sarà l'intersezione tra le due (devono valere entrambe le disequazioni)

S ≡  $ \frac{\pi}{2} \le x \le \frac{3}{2}\pi$ 

c. $ |\frac{3sinx}{cosx-1}| = 3|cot(\frac{x}{2})| $

$ |\frac{sinx}{cosx-1}| = |cot(\frac{x}{2})| $

$ |\frac{sinx}{cosx-1}| = |\frac{1}{(\frac{x}{2})}| $

Applichiamo una delle formule di bisezione $ tan(\frac{α}{2}) = \frac{1-cosα}{sinα} $ al membro a sinistra

$ |\frac{sinx}{cosx-1}| = |\frac{sinx}{cosx-1}| $

https://www.desmos.com/calculator/vupdhaf0ry

d.  n° soluzioni 

Calcoliamo il valore assunto dalla funzione in x = π/3. $ y(π/3) = 3\sqrt{3}+1$ Ricordiamo che la funzione è continua laddove definita.

Dal grafico possiamo dedurre che:

1. due soluzioni per k in [1, 4] 
2. una soluzione per k in (4, 3√3+1)