Problema geometrico n. 224

Ciao @beppe

Vedi figura:

ΒΗ = √(x^2 - (x/2)^2)----> ΒΗ = √3·x/2

ΑΗ = b - √3·x/2

ΑQ = √((x/2)^2 + (b - √3·x/2)^2)

ΑQ = √(x^2 - √3·b·x + b^2)

In base al testo deve essere:

√(x^2 - √3·b·x + b^2) + x/2 = √3/2·b

√(x^2 - √3·b·x + b^2) = √3/2·b - x/2

elevo al quadrato:

x^2 - √3·b·x + b^2 = (√3/2·b - x/2)^2

x^2 - √3·b·x + b^2 = x^2/4 - √3·b·x/2 + 3·b^2/4

4·(x^2 - √3·b·x + b^2) = x^2 - 2·√3·b·x + 3·b^2

4·x^2 - 4·√3·b·x + 4·b^2 - (x^2 - 2·√3·b·x + 3·b^2) = 0

3·x^2 - 2·√3·b·x + b^2 = 0

(√3·x - b)^2 = 0-----> x = √3·b/3

Mi scuserai se il parametro lo chiamo k e non b; nel triangolo ABC il nome b è quello della misura del lato AC, opposto al vertice B che lo vede sotto l'angolo β.
E che cavolo! Esiste una tradizione anche per la nomenclatura, no?
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Il triangolo ABC, con i cateti AB e AC lunghezze c = |AB| = k e b = |AC| = k*√3, è ovviamente la metà del triangolo equilatero di lato L = 2*k. E (√3/2)*k è l'altezza del triangolo equilatero di lato L/2 = k. Perciò, salvo errori ed omissioni, Q dovrebb'essere l'intersezione fra la bisettrice di β e l'altezza sull'ipotenusa.
La verifica del ragionamento elementare non è proprio immediata, almeno per le mie abitudini.
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Con i vertici
* A(0, 0), B(k, 0), C(0, k*√3)
ponendo l'angolo retto nell'origine e i cateti sui semiassi positivi degli assi coordinati, l'ipotenusa BC giace sulla retta
* BC ≡ y = (√3)*(k - x)
e la bisettrice di β, delle due rette luogo dei punti Q(x, y) equidistanti da BC e dall'asse x, giace su quella di pendenza negativa
* r ≡ y = (k - x)/√3
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Pertanto «un punto Q tale che la somma delle distanze ...» ha l'espressione
* Q(x, (k - x)/√3), con 0 <= x <= k
e le distanze
* |Qr| = (k - x)/√3 (per definizione di bisettrice)
* |QA| = √((4*x^2 - 2*k*x + k^2)/3) (il raggio vettore di Q)
che assommano al valore richiesto per
* ((k - x)/√3 + √((4*x^2 - 2*k*x + k^2)/3) = (√3/2)*k) & (0 <= x <= k) ≡
≡ (√(4*x^2 - 2*k*x + k^2) - k/2 - x = 0) & (0 <= x <= k) ≡
≡ x = k/2
quindi
* Q(k/2, k*√3/6)
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L'altezza di ABC sull'ipotenusa BC è sulla retta
* h ≡ y = x/√3
che interseca r in
* h & r ≡ (y = x/√3) & (y = (k - x)/√3) ≡ Q(k/2, k*√3/6)
quindi il ragionamento elementare non era campato sulle nuvole.