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[Risolto] problema geometrico con disequazioni

  

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Dato il trapezio scaleno rappresentato in figura, determina il valore di $x$, misura della base minore, affinché l'area del trapezio sia maggiore o uguale a $4 a \mathrm{~cm}^{2}$. Quanto vale il suo perimetro se l'area è esattamente di $4 a \mathrm{~cm}^{2}$ ?
$$
\left[a>\frac{3}{5} x \geq \frac{5 a-3}{3(a+1)} ; \frac{3 a^{2}+17 a+6}{a+1}\right]
$$

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@fjjf 

Osserviamo anzitutto che $a$ deve essere una quantità $>0$ affinchè possa rappresentare un'area.

Ricordiamo l'area del trapezio $\frac{(B+b)h}{2}$ poniamola $\geq 4a$

$\frac{x(x+3)(a+1)}{2} \geq 4a$ 

$3(a+1)x \geq 5a-3$

essendo come detto in precedenza $a>0$, segue che $a+1$ è una quantità sicuramente positiva, quindi posso dividere tutto per $3(a+1)$ senza ulteriori casistiche.

da cui: $x \geq \frac{5a-3}{3(a+1)}$

tuttavia la quantità a secondo membro deve essere positiva (essendo $x$ un lato del trapezio)

Pertanto

$\frac{5a-3}{3(a+1)} >0$ da cui $a>3/5$

per il secondo quesito basta prendere l'uguaglianza $x= \frac{5a-3}{3(a+1)}$ e poi effettuare la somma dei lati

per $x= \frac{5a-3}{3(a+1)}$ il perimetro è:

$2a+1 + \frac{5a-3}{3(a+1)} + a+5 + 2 \frac{5a-3}{3(a+1)}+ 3$

$\frac{5a-3}{(a+1)} + 3a+9$

Svolgendo il mcm ottieni il risultato

@emc2 grazie ☺️, diciamo che la mia domanda era soprattutto sulla seconda , poiché ho trovato il valore di x per il quale l area è 4a ,ma poi il risultato del perimetro non viene , avrebbe qualche soluzione 😅?

 

 

@fjjf  Certo 🙂 Ho aggiornato la mia risposta precedente, probabilmente commetti qualche errore nei calcoli 🙂

@emc2 ah si infatti ora viene grazie ☺️



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@fjjf 

Ciao, benvenuto.

Area trapezio=1/2·((2·x + 3) + x)·(a + 1) ≥ 4·a

1/2·(3·x + 3)·(a + 1) ≥ 4·a

(3·x + 3)·(a + 1) ≥ 8·a

3·x·(a + 1) + 3·(a + 1) ≥ 8·a

3·x·(a + 1) ≥ 5·a - 3

x ≥ (5·a - 3)/(3·(a + 1)) e, dovendo essere x>  deve risultare anche a > 3/5

Per A= 4a deve risultare: x = (5·a - 3)/(3·(a + 1))

Quindi il perimetro trapezio vale:

(5·a - 3)/(3·(a + 1)) + (a + 5) + (2·(5·a - 3)/(3·(a + 1)) + 3) + (2·a + 1)

Se sviluppi i calcoli ottieni:

((5·a - 3)/(3·(a + 1)) + 2·(5·a - 3)/(3·(a + 1))) + (a + 5) + 3 + (2·a + 1)

(5·a - 3)/(a + 1) + (a + 5) + 3 + (2·a + 1)

(5·a - 3)/(a + 1) + 3·a + 9

((5·a - 3) + (3·a + 9)·(a + 1))/(a + 1)

((5·a - 3) + (3·a^2 + 12·a + 9))/(a + 1)

(3·a^2 + 17·a + 6)/(a + 1)

 

 

 



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Il testo dell'esercizio 580 è CONCETTUALMENTE ERRATO e quindi propone un problema malposto in quanto incoerentemente privo di senso.
La compatibilità dimensionale non è facoltativa.
Sul grafico del trapezio AHBCD non sono marcati i nomi dei punti vertici, ma sono marcate le misure del segmenti lati e altezza. Si vedono sei espressioni
* a = |AB| = 2*x + 3 = base maggiore
* b = |CD| = x = base minore
* c = |BC| = a + 5 = lato obliquo destro
* d = |DA| = 2*a + 1 = lato obliquo sinistro
* h = |CH| = a + 1 = altezza
* S = 4*a cm^2 = area
e nessuna delle lunghezze porta unità come l'area.
Pertanto ai due quesiti che si riferiscono all'area "4*a cm^2" la sola risposta CONCETTUALMENTE CORRETTA è «Domanda insensata! E' come chiedere la differenza fra tre maiali e un paio d'occhiali.».
Un secolo fa, quando ancora nelle classi elementari (prima della forzata italianizzazione fascista) si insegnava nelle lingue locali e nei dialetti (però s'insegnava l'italiano con più rigore di oggi), una saggia maestra spiegava la compatibilità dimensionale dicendo ai bambini di mandare a mente il mantra «Cunigghi cu cunigghi, addrine cu addrine!».
Ancora tre quarti di secolo fa, quando nelle classi elementari c'ero io, anche la mia maestra lo spiegava dicendoci «Mele con mele, pere con pere!», ma il passaggio dal cortile dialettale al frutteto italiano attenuava l'effetto un bel po'.
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Eliminando il riferimento ai "cm^2" il problema diventa ben posto e si risolve ragionando, ad esempio, come segue.
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A) Per ottenere un trapezio non degenere, come da grafico, tutt'e sei le espressioni devono essere positive
* (2*x + 3 > 0) & (x > 0) & (a + 5 > 0) & (2*a + 1 > 0) & (a + 1 > 0) & (4*a > 0) ≡
≡ (x > 0) & (a > 0)
---------------
B) L'espressione del perimetro è
* p(a, x) = 2*x + 3 + x + a + 5 + 2*a + 1 = 3*(a + x + 3)
e quella dell'area è
* S(a, x) = h*(a + b)/2 = (a + 1)*(2*x + 3 + x)/2 = (3/2)*(a + 1)*(x + 1)
---------------
C) Quesito #1
* ((3/2)*(a + 1)*(x + 1) >= 4*a) & (a > 0) & (x > 0) ≡
≡ (0 < a <= 3/5) & (x > 0) oppure (a > 3/5) & (x >= (5*a - 3)/(3*(a + 1)))
---------------
D) Quesito #2
* S(a, x) = (3/2)*(a + 1)*(x + 1) = 4*a ≡ (a > 3/5) & (x = (5*a - 3)/(3*(a + 1)))
da cui
* p(a > 3/5) = 3*(a + x + 3) = 3*(a + (5*a - 3)/(3*(a + 1)) + 3) =
= (3*a^2 + 17*a + 6)/(a + 1)



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