Trova le misure dei cateti di un triangolo ret-tangolo, sapendo che, diminuendo di 4 cm il cateto maggiore e aumentando di 4 cm il mi-nore, la sua area e la lunghezza dell'ipotenusa
risultano invariate.
Trova le misure dei cateti di un triangolo ret-tangolo, sapendo che, diminuendo di 4 cm il cateto maggiore e aumentando di 4 cm il mi-nore, la sua area e la lunghezza dell'ipotenusa
risultano invariate.
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Livello 0
La prima equazione é
a b/2 = (a+4)(b-4)/2
l'altra
a^2 + b^2 = (a+4)^2 + (b-4)^2
ab = ab - 4a + 4b - 16
8a + 16 - 8b + 16 = 0
a - b = - 4
a - b = - 4
Basta quindi prendere b > 4
e a = b - 4.
ci sono infiniti triangoli con questa proprietà.
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Livello 7
x= cateto maggiore; y= cateto minore
{(x - 4)^2 + (y + 4)^2 = x^2 + y^2
{(x - 4)·(y + 4) = x·y
Risolvilo ed ottieni la soluzione
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Genius III
@lucianop deve essere indeterminato, scusa se non l’ho menzionato nel probema
Il triangolo rettangolo non degenere ha lati
* 0 < a <= b < c = √(a^2 + b^2)
Le misure richieste siano le variabili a e b.
L'area S = a*b/2 è il semiprodotto dei cateti.
Le due invarianze richieste si esprimono, in cm e cm^2, con
* a*b/2 = (a + 4)*(b - 4)/2
* √(a^2 + b^2) = √((a + 4)^2 + (b - 4)^2)
da cui il sistema
* (a*b = (a + 4)*(b - 4)) & (a^2 + b^2 = (a + 4)^2 + (b - 4)^2) & (0 < a <= b) ≡
≡ (a*b = a b - 4*(a - b + 4)) & (a^2 + b^2 = a^2 + b^2 + 8*(a - b + 4)) & (0 < a <= b) ≡
≡ (a - b + 4 = 0) & (a - b + 4 = 0) & (0 < a <= b) ≡
≡ (a > 0) & (b = a + 4) → c = √(2*(a^2 + 4*a + 8))
il problema risulta indeterminato per carenza di vincoli: le due invarianze dicono la stessa cosa.
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Genius I