problema geometria solida

Un parallelepipedo rettangolo ha la misura della diagonale di 30 dam; sapendo che il perimetro di base è 50,4 dam e che una dimensione di base è 3/4 dell'altra, calcola il volume del solido.

--------------------------

d=√(a^2 + b^2)= diagonale di base

a=3/4b

d = √((3/4·b)^2 + b^2) = 5·b/4

D=30 cm diagonale parallelepipedo

30 = √((5/4·b)^2 + Η^2)

900 = (25·b^2 + 16·Η^2)/16

Dal sistema:

{a + b = 50.4/2

{a = 3/4·b

si ottiene: [a = 10.8 dam ∧ b = 14.4 dam]

900 = (25·14.4^2 + 16·Η^2)/16----> Η = 24 dam

V=10.8·14.4·24 = 3732.48 dam^3

Dividi la dimensione maggiore in 4 parti uguali

la minore corrisponde a tre di esse.

Il perimetro di base quindi consta di 3 + 4 + 3 + 4 = 14 parti

ognuna delle quali misura 50.4/14 dam = 3.6 dam

Quindi le due dimensioni di base equivalgono a

a = 3*3.6 dam = 10.8 dam

b = 4*3.6 dam = 14.4 dam

La diagonale di base d verifica la relazione

d^2 = (10.8^2 + 14.4^2) dam^2 =

= (116.64 + 207.36) dam^2 = 324 dam^2

e allora c^2 = D^2 - d^2 = (900 - 324) dam^2

da cui D = sqrt (576) dam = 24 dam

V = a b c = 10.8*14.4*24 dam^3 = 3 732.480 dam^3

Un parallelepipedo rettangolo ha la misura della diagonale D di 30 dam; sapendo che il perimetro di base è 50,4 dam e che la dimensione di base b è 3a/4, calcola il volume V del solido. 

semiperimetro p = 50,4/2 = 25,2 = a+3a/4 = 7a/4

a = 25,2/7*4 = 14,40 dam

b = 3*14,4/4 = 10,80 dam 

D^2 = d^2+h^2 = a^2+b^2+h^2 

altezza h = √30^2-(14,40^2+10,80^2) = 24,0 dam 

Volume V = a*b*h = 14,40*10,80*24,0 = 3.732,48 dam^3

Un parallelepipedo rettangolo ha la misura della diagonale di 30 dam; sapendo che il perimetro di base è 50,4 dam e che una dimensione di base è 3/4 dell'altra, calcola il volume del solido. 

=======================================================

Semiperimetro di base $\small p= \dfrac{2p}{2} = \dfrac{50,4}{2} = 25,2\,dam;$

rapporto tra le dimensioni di base $\small = \dfrac{3}{4};$

quindi:

dimensione minore di base $\small a= \dfrac{25,2}{3+4}×3 = \dfrac{25,2}{7}×3 = 10,8\,dam;$

dimensione maggiore di base $\small b= \dfrac{25,2}{3+4}×4 = \dfrac{25,2}{7}×4 = 14,4\,dam;$

per calcolare la diagonale di base e l'altezza applica il teorema di Pitagora: 

diagonale di base $\small d_1= \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{10,8^2+14,4^2} = 18\,dam;$

altezza del parallelepipedo $\small h= \sqrt{(d_2)^2-(d_1)^2} = \sqrt{30^2-18^2} = 24\,dam;$

volume $\small V= a×b×h=10,8×14,4×24= 3732,48\,dam^2.$