Due circonferenze congruenti, di centri $O$ e $O^{\prime}$, si intersecano nei punti $A$ e $B$. Traccia per il punto $A$ una secante che interseca ulteriormente le circonferenze in $P$ e Q. Dimostra che il triangolo $P B Q$ è isoscele. Come devono essere le due circonferenze perché il triangolo $P B Q$ sia equilatero?
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Livello 1
La prima parte, se l'ho interpretata correttamente, é semplice.
Poiché le due cieconferenze sono congruenti, analogamente a quanto avverrebbe su una stessa
circonferenza, gli angoli alla base QPB^ e PQB^ sono congruenti in quanto angoli alla circonferenza
corrispondenti ad archi che sono congruenti in quanto sottendono la stessa corda AB.
Una dimostrazione di quest'ultima affermazione si dedurrebbe usando il terzo criterio.
Per il teorema inverso, il triangolo é isoscele.
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Livello 6
Affinché il triangolo PBQ sia equilatero una condizione necessaria per esigenze di simmetria è che la retta PAQ sia parallela al segmento OO' congiungente i centri delle circonferenze di raggio r, con (|OO'| = 2*k) & (0 < k < r).
Una seconda condizione è che il segmento AB sia l'altezza del triangolo equilatero cioè
* |AB| = (√3/2)*|PQ|
Essendo
* |AB| = 2*√(r^2 - k^2)
* |PQ| = 4*k
si ha
* |AB| = (√3/2)*|PQ| ≡
≡ 2*√(r^2 - k^2) = (√3/2)*4*k ≡
≡ k = r/2
CONCLUSIONE
Affinché il triangolo PBQ sia equilatero le due circonferenze congruenti devono essere tali che ciascuna passi per il centro dell'altra.
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Genius I
@exprof non capisco da dove derivino i calcoli, a partire da:
AB=radice di 3/2 x PQ, fino ad arrivare a k=r/2
@marti49
c'è scritto "cioè" subito prima! Leggi tutto e con calma.
