[Risolto] problema geometria analitica

y = √(x^2 - 4·x + 4) + ABS(x + 1)

equivale a scrivere:

y = ABS(x - 2) + ABS(x + 1)

E' quindi una funzione definita a tratti. Il modulo si libera..

ABS(x - 2) = x - 2  se x ≥ 2

ABS(x - 2) = 2 - x  se x < 2

ABS(x + 1) = x + 1  se x ≥ -1

ABS(x + 1) = - (x + 1)  se x < -1

Quindi la funzione data è equivalente a scrivere:

y=

{y = (x - 2) + (x + 1) = 2·x - 1  se x ≥ 2

{y = (2 - x) + (x + 1) = 3   se -1 ≤ x < 2

{y = (2 - x) - (x + 1)  = 1 - 2·x   se x < -1

---------------------------------------------

x^3 + 2·x^2 - 5·x - 6 = 0

equivale a scrivere: (x + 1)·(x - 2)·(x + 3) = 0

quindi soluzioni: x = -3 ∨ x = 2 ∨ x = -1

Da cui:

Punto A

x = -3: y = 1 - 2·(-3)---> y = 7

[-3, 7]

Punto B

x = -1 : y = 3

[-1, 3]

Punto C

x = 2: y = 3

[2, 3]

Gli ultimi due punti sono facili!! Ti assegno la figura:

Rappresentare graficamente ...
Il grafico Γ della funzione
* Γ ≡ y = √(x^2 - 4*x + 4) + |x + 1| = √((x - 2)^2) + |x + 1| ≡
≡ y = |x + 1| + |x - 2|
è la somma, ascissa per ascissa di due "|x - k|" coi vertici in x = - 1 e in x = 2; essendo ribaltamenti di due rette parallele di pendenza uno la loro somma è costante sull'intervallo [- 1, 2] e pari a tre.
Perciò la funzione si può ridefinire per distinzione di casi sommando le distinzioni di casi degli addendi.
* y = |x + 1| ≡ (x <= - 1) & (y = - x - 1) oppure (x >= - 1) & (y = x + 1)
* y = |x - 2| ≡ (x <= + 2) & (y = + 2 - x) oppure (x >= + 2) & (y = x - 2)
da cui
* x <= - 1: y = 1 - 2*x
* - 1 <= x <= 2: y = 3
* x >= 2: y = 2*x - 1
http://www.wolframalpha.com/input?i=y%3Dpiecewise%5B%7B%7B1-2*x%2Cx%3C%3D-1%7D%2C%7B3%2C-1%3C%3Dx%3C%3D2%7D%2C%7B2*x-1%2Cx%3E%3D2%7D%7D%5D
a) Determinare A, B, C
* x^3 + 2*x^2 - 5*x - 6 = 0 ≡
≡ (x + 3)*(x + 1)*(x - 2) = 0 ≡
≡ (xA = - 3) oppure (xB = - 1) oppure (xC = 2)
da cui
* (yA = 7) oppure (yB = 3) oppure (yC = 3)
* A(- 3, 7), B(- 1, 3), C(2, 3)
b1) Individuare D
Per avere ABCD trapezio (AD // BC) dev'essere D(xD, 7), con xD > 2 per avere ABCD isoscele.
Quindi dal ramo
* x >= 2: y = 2*x - 1
si ha
* 7 = 2*x - 1 ≡ x = 4
* D(4, 7)
b2) Calcolare l'area T di ABCD
L'area T del trapezio è il prodotto fra l'altezza
* h = yA - yB = 4
e la media delle basi
* (a + b)/2 = ((xC - xB) + (xD - xA))/2 = ((2 - (- 1)) + (4 - (- 3)))/2 = 5
cioè
* T = 20
c) Verificare ...
L'area R del rombo è il semiprodotto delle diagonali; la diagonale minore è l'altezza del trapezio: 4; la diagonale maggiore è la media delle basi del trapezio: 5; quindi R = 10.
QED