In una circonferenza di centro $O$, una corda $B D$, perpendicolare al diametro $A C$, lo divide in due parti il cui rapporto è $\frac{9}{16}$. Sapendo che il perimetro del quadrilatero $A B C D$ è $56 cm$, determina il raggio della circonferenza.
$[10 cm ]$
38
punti
Livello 0
Il quadrilatero ABCD è formato da due triangoli congruenti.
Se il perimetro è 56 cm, abbiamo che
$AB + BC = 28$
Dato che il triangolo ABC è iscritto in una semicirconferenza è rettangolo. Per Pitagora abbiamo che:
$ AB^2+ BC^2 = AC^2$
Inoltre per Euclide (detto H il piede dell'altezza):
$ AH^2 = AC*AB$
$ HC^2 = AC*BC$
Dove $AH = 9/16 HC$
Mettiamo tutto a sistema:
{$AB + BC = 28$
{$AB^2 + BC^2 = AC^2$
{$ [(9/16) HC]^2 = AC*AB$
{$ HC^2 = AC*BC$
Sostituisco HC nella terza,:
{$AB = 28 - BC$
{$AB^2 + BC^2 = AC^2$
{$ 81/256 (AC*BC) = AC*AB$ -> $ 81/256 BC = AB
{$ HC^2 = AC*BC$
Sostituisco AB della prima con l'espressione della terza:
{$ 81/256 BC = 28 - BC$ -> $ 337/256 BC = 28$ -> $ BC = 21.2 cm$
{$ AB = 81/256 BC = 6.7 cm$
{$ AC^2 = AB^2 + BC^2 = 493.33$
{$ HC^2 = AC*BC$
Quindi:
$ AC = 22.2 cm$
$ r = AC/2 = 11 cm$
Noemi
9382
punti
Livello 5
