[Risolto] Problema geometria

Un triangolo è diviso dall'altezza in due triango- li rettangoli aventi le ipotenuse e i cateti non in comune che stanno tra loro rispettivamente 3/4 e 9/16. Il perimetro é di 60 cm e base di 25 cm. Determina l'area del triangolo. Verifica che il triangolo è rettangolo. 

Qualcuno riesce a risolverlo? 

----------------------------------------------------------------------------------------------------

Visti quei rapporti il triangolo principale è sicuramente rettangolo, comunque:

cateti non in comune dei due triangoli rettangoli che formano la base del triangolo principale e sono le proiezioni dei due lati incogniti, somma $= 25~cm$ e rapporto $=9/16$, puoi calcolarli come segue anche se si può fare ad occhio:

proiezione del lato incognito minore sulla base $= \dfrac{25}{9+16}×9 = \dfrac{25}{25}×9 = 9~cm\,$;

proiezione del lato incognito maggiore sulla base $= \dfrac{25}{9+16}×16 = \dfrac{25}{25}×16 = 16~cm\,$;

somma delle ipotenuse dei due triangoli rettangoli cioè i due lati incogniti:

$= 60-25 = 35~cm$ anche qui abbiamo il rapporto tra essi, quindi:

lato incognito minore $= \dfrac{35}{3+4}×3 = \dfrac{35}{7}×3 = 5×3 = 15~cm\,$;

lato incognito maggiore $= \dfrac{35}{3+4}×4 = \dfrac{35}{7}×4 = 5×4 = 20~cm\,$;

il triangolo principale è rettangolo perché i lati formano una terna pitagorica $[15; 20; 25]$ che è la primitiva $[3; 4; 5]$ moltiplicata per 5; 

comunque andando avanti:

altezza relativa alla base $h= \sqrt{15^2-9^2} =12~cm$ (teorema di Pitagora applicato, per esempio, al minore dei triangoli rettangoli);

area del triangolo $A= \dfrac{b·h}{2} = \dfrac{25×12}{2}= 150~cm^2\,$;

per riprova, considerando i due altri lati  come cateti:

area $A= \dfrac{C·c}{2}=\dfrac{20×15}{2}=150~cm^2\,$ (anche da ciò si verifica che il triangolo è rettangolo).

base b = 25 cm 

60-25 = 35 = C+3C/4 = 7C/4

lato maggiore  C = 35/7*4 = 20 cm

lato minore c = 20*3/4 = 15 cm 

15, 20 e 25 sono una terna pitagorica , pertanto il triangolo è rettangolo 

Area A = 15*20/2 = 150 cm^2