Il gestore di un'agenzia ha due debiti: il primo in scadenza tra 2 anni, il secondo, superiore al primo di € 6000, in scadenza tra 3 anni. Ha la facoltà di estinguere oggi i due debiti con il pagamento di € 29155,70 al tasso di sconto composto dell' $1,50 \%$ trimestrale. Determina l'importo dei due debiti.
333
punti
Livello 1
Dato
\[D_2 = D_1 + 6000\,,\]
il valore attuale per un debito dovuto tra $t$ anni con un tasso di sconto trimestrale $r$ è
\[V_a = \frac{D}{(1 + r)^n} \:\Bigg|_{\substack{D = D_1}} \implies V_{a_1} = \frac{D_1}{(1 + 0,015)^8}\]
\[V_a = \frac{D}{(1 + r)^n} \:\Bigg|_{\substack{D = D_2}} \implies V_{a_2} = \frac{D_2}{(1 + 0,015)^1 \cdot 2}\,,\]
tale che
\[V_{a_1} + V_{a_2} = 29155,70 \implies \frac{D_1}{(1 + 0,015)^8} + \frac{D_1 + 6000}{(1 + 0,015)^1 \cdot 2}\]
\[\frac{D_1}{1126} + \frac{D_1}{1195} + \frac{6000}{1195} = 29155,70\,.\]
Risolvendo per $D_1\,$:
\[D_1 \cdot \left(\frac{1}{1126} + \frac{1}{1195}\right) + \frac{6000}{1195} = 29155,70 \implies\]
\[D_1 \cdot 1725 + \frac{6000}{1195} = 29155,70 \iff D_1 = \frac{24142,31}{1725} \approx 14000\,.\]
Allora
\[D_2 = D_1 + 6000 = 14000 + 6000 = 20000\,.\]
3831
punti
Livello 5
