Una pallina sferica solida di massa 2.5 kg e di raggio 0.5 m rotola partendo da ferma lungo un piano inclinato altro 3m e inclinato di 30°.
Calcola la velocità finale con cui la pallina arriva alla fine della discesa.
(suggerimento del libro): energia meccanica totale si conserva
risultato: 6.48 m/s
0
punti
Livello 0
Innanzitutto determiniamo il momento d'inerzia
della pallina rispetto al centro di massa (sfera piena):
$$
I_{c m}=\frac{2}{5} m r^{2}
$$
L'energia cinetica complessiva è data dalla componente traslazionale del centro di massa e da
quella rotazionale:
$$
\begin{aligned}
K=K_{\text {trasl }}+K_{\text {rotaz }}= \\
&=\frac{1}{2} m v_{c m}^{2}+\frac{1}{2} I_{c m} \omega^{2} \\
&=\frac{1}{2} m v^{2}+\frac{1}{5} m r^{2} \omega^{2} \\
&=\frac{1}{2} m v^{2}+\frac{1}{5} m r^{2}\left(\frac{v}{r}\right)^{2}=\frac{7}{10} m v^{2}
\end{aligned}
$$
Per la coservazione dell'energia meccanica abbiamo $\left(v_{i}=0\right)$ :
$$
U_{i}=K_{f}
$$
Che esplicitato diventa:
$$
m g h=\frac{7}{10} m v^{2}
$$
Da cui si ricava la velocità:
$$
v=\sqrt{\frac{10}{7} g h}=6.48\left[\frac{m}{s}\right]
$$
904
punti
Livello 2
m*g*h = 0,7*m*V^2
la massa m si semplifica
V = √g*h/0,7 = √3*9,806/0,7 = 6,48 m/sec
spiegazione dello 0,7 : Ek = m/2*V^2+J/2*ω^2 (con ω = V/r)
96805
punti
Genius II
