[Risolto] Problema di trigonometria

La diagonale AC si determina col Teorema di Carnot

AC^2 = 5^2 + 1^2 - 2*5*1* cos 135° =

= 25 + 1 - 10 *(-rad(2)/2) =

= 26 + 5 rad 2 ~ 33.071

AC = 5.75 cm

Analogamente

BD^2 = 5^2 + 1^2 - 2*5*1 * cos 45° =

= 26 - 5 rad 2 ~ 18.93

BD = 43.5 cm

BD/(√2 /2) = AD/ (1/2)

4 = 2AD

AD = 2

sin 105° = sin 60*cos 45+sin 45*cos 60 = (√2+√6)/4

AD/(1/2) = AB/(√2+√6)/4

4 = 4AB/(√2+√6)

AB = (√2+√6)

perimetro 2p = 2(2+√2+√6) cm 

diagonale BD = √(5-0,707)^2+0,707^2 = 4,35 cm

diagonale AC = √(5+0,707)^2+0,707^2 = 5,75 cm

applicazione del teorema di F. Viete (aka teorema del coseno)

sul lato AB

25*3 = 5^2+5^2-2*5*5*cos AOB

cos AOB = (50-75)/50 = -0,50 

angolo AOB = 120°

sul lato AC

64 = 5^2+5^2-2*5*5*cos AOC

cos AOc = (50-64)/50 = -0,28 

angolo AOB = arccos -0,28 = 106,26°

angolo BOC = 360-(120+106,26) = 133,74°

BC = √5^2+5^2-2*5*5*cos 133,74 = 9,196 cm 

r = 5 = a*b*c/(4A)

A = 5√3*8*9,196/20 = 31,856 cm^2

bonus :

perimetro 2p = 5√3+8+9,196 = 25,856 cm 

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$\small\text{Ciascun angolo acuto è supplementare di ciascun angolo ottuso, quindi:}$

$\small\text{angoli acuti } = 180°-135° = 45°;$

$\small\text{diagonale maggiore: }$

$\small D= \sqrt{5^2+1^2-2·5·1·cos(135°)}\quad\text{(teorema del coseno)}$

$\small D= \sqrt{25+1-10·\left(-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)}$

$\small D= \sqrt{26-\left(-5\sqrt2\right)}$

$\small D= \sqrt{26+5\sqrt2}\approx{5,75}~cm;$

$\small\text{diagonale minore: }$

$\small d= \sqrt{5^2+1^2-2·5·1·cos(45°)}\quad\text{(teorema del coseno)}$

$\small d= \sqrt{25+1-10·\dfrac{\sqrt2}{2}}$

$\small d= \sqrt{26-5\sqrt2} \approx{4,35}~cm.$