Considera una semicirconferenza di diametro AB, centro O e raggio r e indica con M il suo punto medio. considera un punto P interno all'arco BM e traccia da P la parallela ad AB; indica: con Q l'ulteriore punto di intersezione della parallela tracciata con la semicirconferenza; con R il punto di intersezione dei segmenti AP e OQ. Determina PAB=x modo che sia verificata la relazione: PR + QR =2PQ
soluzione: x=arcos(3/4)
2
punti
Livello 0
Svolgimento
PAB = x.
Dato che P può variare fra P e M ( estremi esclusi ) risulterà 0 < x < pi/4.
Il triangolo APB é rettangolo perché inscritto in una semicirconferenza
per cui AP = 2 r cos x e l'altezza relativa ad AB, PH, misura 2 r cos x sin x =
= r (2 sin x cos x) = r sin 2x.
Pertanto PQ/2 = rad (r^2 - (r sin 2x)^2) = rad [ r^2 - r^2 sin^2(2x) ] =
= r rad [ 1 - sin^2(2x) ] = r cos 2x
e PQ = 2 r cos 2x.
L'enunciato del problema risulta allora PR + QR = 4r cos 2x.
Ora consideriamo i triangoli AOR e RPQ i quali sono simili
perché hanno gli angoli in R opposti al vertice e quindi congruenti
e un angolo x ciascuno perché essendo PQ//AB per quanto detto nella traccia
RPQ^ - essendo alterno interno di PAB^, con trasversale AP, é congruente a x.
Allora il rapporto di similitudine é
k = PQ/OA = PQ/r = PR/AR = PR/(AP - PR) = PR/(2r cos x - PR)
e da qui si trae l'uguaglianza
PR/(2r cos x - PR) = 2 cos 2x
ovvero PR = 4 r cos x cos 2x - 2 PR cos 2x
PR (1 + 2 cos 2x ) = 4 r cos x cos 2x
PR = 4r cos x cos 2x/(1 + 2 cos 2x).
In modo analogo si ragiona per QR :
QR/OR = k = PQ/r
QR/(r - QR) = 2 cos 2x
QR = 2r cos 2x - 2 QR cos 2x
QR ( 1 + 2 cos 2x ) = 2 r cos 2x
QR = 2r cos 2x/(1 + 2 cos 2x).
Sostituendo avremo la risolvente :
4r cos x cos 2x /(1 + 2 cos 2x) + 2r cos 2x /(1 + 2 cos 2x) = 4 r cos 2x
con 0 < x < pi/4.
Discussione :
cos 2x non può essere 0 altrimenti 2x = pi/2 => x = pi/4 => P coincide con M
Questo caso é escluso perché la traccia parla di P come interno all'arco BM.
A maggior ragione non può essere 1 + 2 cos 2x = 0 perché ciò implicherebbe
cos 2x = -1/2 => 2x = 120° => x = 60° che é esterno all'intervallo ]0, pi/4[.
Dividendo quindi tutto per r cos 2x e moltiplicando per 1 + 2 cos 2x
si ottiene la risolvente semplificata
2 cos x + 1 = 2 (1 + 2 cos 2x)
2 cos x + 1 = 2 + 4 (cos^2(x) - 1 + cos^2(x))
8 cos^2(x) - 4 + 2 - 1 - 2 cos x = 0
8 cos^2(x) - 2 cos x - 3 = 0
in cui si può accettare solo la radice positiva perché x nel II quadrante
non sarebbe fra 0 e pi/4 ...
cos x = (1 + rad(1+24))/8 = (1+5)/8 = 3/4
x = PAB^* = arc cos* (3/4) ~ 41.41°
che é accettabile perché si trova all'interno dell'arco BM.
37430
punti
Livello 6
