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[Risolto] problema di trigonometria

  

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Considera una semicirconferenza di diametro AB, centro O e raggio r e indica con M il suo punto medio. considera un punto P interno all'arco BM e traccia da P la parallela ad AB; indica: con Q l'ulteriore punto di intersezione della parallela tracciata con la semicirconferenza; con R il punto di intersezione dei segmenti AP e OQ. Determina PAB=x modo che sia verificata la relazione: PR + QR =2PQ

soluzione: x=arcos(3/4)

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Svolgimento

PAB = x.

Dato che P può variare fra P e M ( estremi esclusi ) risulterà 0 < x < pi/4.

Il triangolo APB é rettangolo perché inscritto in una semicirconferenza

per cui AP = 2 r cos x e l'altezza relativa ad AB, PH, misura 2 r cos x sin x =

= r (2 sin x cos x) = r sin 2x.

Pertanto PQ/2 = rad (r^2 - (r sin 2x)^2) = rad [ r^2 - r^2 sin^2(2x) ] =

= r rad [ 1 - sin^2(2x) ] = r cos 2x

e PQ = 2 r cos 2x.

L'enunciato del problema risulta allora PR + QR = 4r cos 2x.

Ora consideriamo i triangoli AOR e RPQ i quali sono simili

perché hanno gli angoli in R opposti al vertice e quindi congruenti

e un angolo x ciascuno perché essendo PQ//AB per quanto detto nella traccia

RPQ^ - essendo alterno interno di PAB^, con trasversale AP, é congruente a x.

Allora il rapporto di similitudine é

k = PQ/OA = PQ/r = PR/AR = PR/(AP - PR) = PR/(2r cos x - PR)

e da qui si trae l'uguaglianza

PR/(2r cos x - PR) = 2 cos 2x

ovvero PR = 4 r cos x cos 2x - 2 PR cos 2x

PR (1 + 2 cos 2x ) = 4 r cos x cos 2x

PR = 4r cos x cos 2x/(1 + 2 cos 2x).

In modo analogo si ragiona per QR :

QR/OR = k = PQ/r

QR/(r - QR) = 2 cos 2x

QR = 2r cos 2x - 2 QR cos 2x

QR ( 1 + 2 cos 2x ) = 2 r cos 2x

QR = 2r cos 2x/(1 + 2 cos 2x).

Sostituendo avremo la risolvente :

4r cos x cos 2x /(1 + 2 cos 2x) + 2r cos 2x /(1 + 2 cos 2x) = 4 r cos 2x

con 0 < x < pi/4.

 

Discussione :

cos 2x non può essere 0 altrimenti 2x = pi/2 => x = pi/4 => P coincide con M

Questo caso é escluso perché la traccia parla di P come interno all'arco BM.

A maggior ragione non può essere 1 + 2 cos 2x = 0 perché ciò implicherebbe

cos 2x = -1/2 => 2x = 120° => x = 60° che é esterno all'intervallo ]0, pi/4[.

Dividendo quindi tutto per r cos 2x e moltiplicando per 1 + 2 cos 2x

si ottiene la risolvente semplificata

2 cos x + 1 = 2 (1 + 2 cos 2x)

2 cos x + 1 = 2 + 4 (cos^2(x) - 1 + cos^2(x))

8 cos^2(x) - 4 + 2 - 1 - 2 cos x = 0

8 cos^2(x) - 2 cos x - 3 = 0

in cui si può accettare solo la radice positiva perché x nel II quadrante

non sarebbe fra 0 e pi/4 ...

cos x = (1 + rad(1+24))/8 = (1+5)/8 = 3/4

x = PAB^* = arc cos* (3/4) ~ 41.41°

che é accettabile perché si trova all'interno dell'arco BM.

 

 

 



Risposta
SOS Matematica

4.6
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