[Risolto] Problema di ottimizzazione (2)

@giadaaa

Ciao.

La superficie totale z di un cilindro è funzione di 2 variabili:

x= raggio di base

y= altezza

e si scrive: z = 2·pi·x^2 + 2·pi·x·y

Il problema è di min vincolato ed il vincolo è:

pi·x^2·y = k (volume noto e pari ad un valore k= costante)

Risolviamo l'equazione di vincolo rispetto ad y:

y = k/(pi·x^2)

e sostituiamo tale valore nella funzione in esame:

z = 2·pi·x^2 + 2·pi·x·(k/(pi·x^2))---> z = 2·pi·x^2 + 2·k/x

Applichiamo le condizioni necessarie per il minimo di tale funzione:

z'(x)=0------> 4·pi·x - 2·k/x^2 = 0

Risolta fornisce valore reale di x per:

x =2^(2/3)·k^(1/3)/(2·pi^(1/3)) ed 

y =k/(pi·(2^(2/3)·k^(1/3)/(2·pi^(1/3)))^2)--------> y=2^(2/3)·k^(1/3)/pi^(1/3)

E' un minimo in quanto la derivata seconda:

z''(x)=4·k/x^3 + 4·pi >0

Confrontando i valori di x e di y ottenuti in corrispondenza si vede che il minimo si ha per un'altezza y pari al diametro e quindi per un cilindro equilatero

 

 

volume del cilindro é V = pi R^2 h

per cui posto R = x, con x >= 0, h = V/(pi x^2)

St = Sl + 2 Sb = 2 pi r h + 2 pi r^2 = 2 pi ( x V/(pi x^2) + x^2 ) =

= K * (x^2 + V/(pi x)) = min

dS/dx = K* [ 2x - V/(pi x^2) ]  >= 0

2 pi x^3 - V >= 0

definisce l'intervallo di crescenza in ]0, +oo[

per cui Rmin = rad_3( V/(2pi))

Mi scuso del refuso fatto : la tabella corretta da ragione a Luciano ( h/r = 2 )