Determina l'equazione della circonferenza di diametro $A B$, con $A(-2 ; 3)$ e $B(3 ;-1)$, e indica se i punti $P(0 ; 3)$ e $Q(-6 ; 1)$ sono interni o esterni alla circonferenza.
$$
\left[x^2+y^2-x-2 y-9=0\right]
$$
Determina l'equazione della circonferenza di diametro $A B$, con $A(-2 ; 3)$ e $B(3 ;-1)$, e indica se i punti $P(0 ; 3)$ e $Q(-6 ; 1)$ sono interni o esterni alla circonferenza.
$$
\left[x^2+y^2-x-2 y-9=0\right]
$$
109
punti
Livello 1
Sia $C = \left(\frac{-2 + 3}{2}, \frac{3 - 1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 1\right)\,$ il centro della circonferenza e
\[r = d(C,A) \lor d(C,B) = \sqrt{\left(-2 - \frac{1}{2}\right)^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{16}{4}} = \frac{\sqrt{41}}{2}\]
il raggio; l'equazione della circonferenza risulta quindi
\[\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + (y - 1)^2 = \left(\frac{\sqrt{41}}{2}\right)^2 \implies 4x^2 + 4y^2 - 4x - 8y - 36 = 0 \iff\]
\[x^2 + y^2 - x - 2y - 9 = 0\,.\]
Per verificare se tali punti siano esterni o interni al luogo geometrico, banalmente si sostituiscono le rispettive ascisse e ordinate nell'equazione della circonferenza. Se il risultato polinomiale è maggiore di zero, il punto è esterno, interno altrimenti; se vi è identità polinomiale, il punto è sulla circonferenza.
3831
punti
Livello 5
115479
punti
Genius III