LEGGI IL GRAFICO L'iperbole e l'ellisse in figura hanno gli stessi fuochi e le loro eccentricità sono espresse da numeri reciproci. Trova le equazioni delle due curve, sapendo che i fuochi distano $2 \sqrt{5}$ l'uno dall'altro e che uno degli asintoti dell'iperbole ha equazione $\sqrt{5} x-2 y=0$, e determina il perimetro e l'area del rettangolo avente per vertici i punti di intersezione tra le due coniche.
Ciao, potreste aiutarmi con questo problema? Grazie
41
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Livello 0
Entrambe le curve, riferite ai proprii assi e con asse focale sull'asse x, hanno equazioni di forma
* (x/a)^2 ± (y/b)^2 = 1
con semidistanza focale
* c = √(a^2 - b^2) per l'ellisse
* c = √(a^2 + b^2) per l'iperbole
gli asintoti dell'iperbole hanno equazioni
* y = ± (b/a)*x
e l'eccentricità c/a è
* e = √(a^2 - b^2)/a per l'ellisse
* e = √(a^2 + b^2)/a per l'iperbole
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I dati dell'esercizio
* F(± √5, 0) comuni a ellisse e iperbole
* y = ± (√5/2)*x asintoti dell'iperbole
* eccentricità inverse
consentono di determinare l'iperbole risolvendo, in valori positivi, il sistema
* (b/a = √5/2) & (√5 = √(a^2 + b^2)) ≡ (a = 2*√5/3) & (b = 5/3)
da cui
* e = c/a = 3/2
* Γh ≡ (x/(2*√5/3))^2 - (y/(5/3))^2 = 1 ≡
≡ 5*x^2 - 4*y^2 = 100/9
e di determinare l'ellisse risolvendo, in valori positivi, il sistema
* (√5/a = 2/3) & (√5 = √(a^2 - b^2)) ≡ (a = 3*√5/2) & (b = 5/2)
da cui
* Γe ≡ (x/(3*√5/2))^2 ± (y/(5/2))^2 = 1 ≡
≡ 20*x^2 + 36*y^2 = 225
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Le quattro intersezioni
* Γh & Γe ≡ (5*x^2 - 4*y^2 = 100/9) & (20*x^2 + 36*y^2 = 225) ≡ (± √5, ± 5*√5/6)
sono ovviamente in simmetria quadrantale e sono vertici di un rettangolo con lati (2*√5, 5*√5/3) con
* perimetro p = 2*(2*√5 + 5*√5/3) = (22/3)*√5
* area S = (2*√5)*(5*√5/3) = 50/3
57798
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