Considera la parabola di equazione.
$$
y=-\frac{1}{2} x^2+4 x-\frac{7}{2}
$$
e trova le equazioni delle rette tangenti s e t nei suoi punti di ascissa 2 e 5. Determina l'area della parte finita di piano delimitata dalle rette $s$, te dal grafico della parabola.
$\left[\frac{9}{8}\right]$
47
punti
Livello 0
Ho risposto alla tua domanda. Buona notte.
y = - 1/2·x^2 + 4·x - 7/2
y = - 1/2·2^2 + 4·2 - 7/2----> y = 5/2
y = - 1/2·5^2 + 4·5 - 7/2----> y = 4
Quindi punti: [2, 5/2] e [5, 4]
Rette tangenti (formule di sdoppiamento)
(y + 5/2)/2 = - 1/2·(2·x) + 4·(x + 2)/2 - 7/2
(2·y + 5)/4 = x + 1/2----> y = 2·x - 3/2
(y + 4)/2 = - 1/2·5·x + 4·(x + 5)/2 - 7/2
(y + 4)/2 = (13 - x)/2-----> y = 9 - x
Intersezione rette tangenti:
{y = 2·x - 3/2
{y = 9 - x
Risolvo ed ottengo: [x = 7/2 ∧ y = 11/2]
[7/2, 11/2]
Con due integrazioni ottengo l'area cercata.
(2·x - 3/2) - (- 1/2·x^2 + 4·x - 7/2) = (x^2 - 4·x + 4)/2
(9 - x) - (- 1/2·x^2 + 4·x - 7/2) = (x^2 - 10·x + 25)/2
---------------------------------------------------------
∫((x^2 - 4·x + 4)/2)dx=x^3/6 - x^2 + 2·x
fra x=2 ed x=7/2
(7/2)^3/6 - (7/2)^2 + 2·(7/2)= 91/48
2^3/6 - 2^2 + 2·2= 4/3
Quindi: 91/48 - 4/3 = 9/16
---------------------------------------
∫((x^2 - 10·x + 25)/2)dx=x^3/6 - 5·x^2/2 + 25·x/2
fra x=7/2 ed x=5
5^3/6 - 5·5^2/2 + 25·5/2= 125/6
(7/2)^3/6 - 5·(7/2)^2/2 + 25·(7/2)/2 =973/48
Quindi: 125/6 - 973/48 = 9/16
Sommo ed ottengo l'area:9/16 + 9/16 = 9/8
115473
punti
Genius III
