[Risolto] equazione dell’ellisse traslata

L'ellisse data (x - 1)^2/4 + y^2 = 1

si ottiene da quella centrata nell'origine: x^2/4 + y^2 = 1  tramite traslazione:

{x' = x+1

{y'=y 

Quindi facendo la sostituzione x---->x'-1    quindi spostando l'ellisse di una unità a destra. Il centro dell'ellisse data è pertanto C(1,0). Per riportare l'ellisse data verso il centro bisogna traslarla a sinistra quindi facendo una nuova sostituzione x ------>x+1

Possiamo quindi trovare le caratteristiche richieste della ellisse in istudio aggiungendo alle ascisse +1 da quella centrata in O(0,0): x^2/4+y^2/1=1

Quindi a^2=4; b^2=1 a^2>b^2 fuochi sono su asse x.

|c| =√(a^2 - b^2)=√(4 - 1)=√3

I fuochi per tale ellisse sono: F1=(-√3,0) ; F2(√3,0)

L'eccentricità vale e=|c/a|-----> e =√3/2

Per quanto detto per l'ellisse da studiare avremo: F1=(1-√3,0); F2(1+√3,0) e stessa eccentricità.

Il grafico di tale ellisse con relative proprietà lo trovi al link:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=properties+of+%28x-1%29%5E2%2F4%3D1-y%5E2

Sono invarianti rispetto a rotazioni e traslazione
* l'eccentricità che dipende solo dal rapporto fra i semiassi
* la semidistanza focale che dipende solo dalle lunghezze dei semiassi
quindi conviene non seguire pedissequamente i suggerimenti del testo.
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La generica ellisse con assi di simmetria paralleli a quelli coordinati ha
* equazione ((x - α)/a)^2 + ((y - β)/b)^2 = 1
* centro C(α, β)
* semiassi (a, b)
* semidistanza focale c = √(|a^2 - b^2|)
* eccentricità e = c/max(a, b)
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La data ellisse Γ' ha
* equazione Γ' ≡ ((X - 1)^2)/4 + Y^2 = 1 ≡ ((X - 1)/2)^2 + ((Y - 0)/1)^2 = 1
* centro C(α, β) = (1, 0)
* semiassi (a, b) = (2, 1)
* semidistanza focale c = √(|a^2 - b^2|) = √3
* eccentricità e = √3/2
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La traslazione
* (x = X - 1) & (y = Y)
produce l'ellisse
* Γ ≡ (x/2)^2 + y^2 = 1
* centro C(α, β) = (0, 0)
* semiassi (a, b) = (2, 1)
* semidistanza focale c = √(|a^2 - b^2|) = √3
* eccentricità e = √3/2
Poiché a > b i fuochi cadono sull'asse x a distanza c dal centro con coordinate
* F(± √3, 0)
La traslazione opposta produce i fuochi richiesti
* F'(1 ± √3, 0)