[Risolto] Problema di matematica

Una scatola ha i lati di lunghezza a, b e c, con a < b < c. Se la lunghezza di un lato

aumenta di q, il volume della scatola aumenta. In quale dei seguenti casi si ha il massimo

aumento di volume (spiega anche il perché) ?

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Se aumenta a di q>0:

Δv = (a + q)·b·c - a·b·c = b·c·q

Se aumenta b di q>0:

Δv = a·(b + q)·c - a·b·c = a·c·q

Se aumenta c di q>0:

Δv = a·b·(c + q) - a·b·c = a·b·q

quindi il confronto fra i tre valori ottenuti essendo a<b<c indica che il prodotto maggiore è il 1°. Cioè si ha quando viene aumentato a ( lo spigolo minore). (ovviamente a>0;b>0;c>0)

Ciao,

prima  di tutto quando si parla di solidi si dice spigoli e non lati. 

Detto cio:

Siano $a$, $b$ , $c$ con $a<b<c$ gli spigoli della scatola che possiamo modellizare con un parallelepipedo a base rettangolare.

Per cui il volume del parallelepipedo sarà: 

$V=S_{base}×h$

Sia:

$S_{base}=a×b$ e $h=c$ 

 

( avremo potuto scegliere $S_{base}=a×c$ e $h=b$ o $S_{base}=b×c$ e $h=a$ sarebbe stato indifferente e ti invito a verificarlo )

Per cui:

$V=a×b×c$

Andiamo a vedere cosa succede se aumentiamo uno spigolo di $q$ e vediamo i 3 casi:

Aumento $a$

$V=(a+q)×b×c=abc+bcq$

Aumento $b$

$V=a×(b+q)×c= abc+acq$

Aumento $c$

$V=a×b×(c+q)= abc+abq$

Per sapere quale sarà il volume massimo dobbiamo andare a vedere quale tra $bcq$, $acq$ e $abq$ è più grande.

Che si limita a verificare qual'è il più grande tra $bc$, $ac$ e $ab$

Essendo $a<b$ implica $ac<bc$.

Mentre essendo $b<c$ implica $ ab<ac$

Per cui:

$ab<ac<bc$

Ciò ovviamente implica che:

$abq<acq<bcq$

Perciò il volume maggiore si ottieni aumentando lo spigolo $a$