scrivi l’equazione di un’ellisse con il centro nell’origine e i fuochi sull’asse y , sapendo che il quadrato inscritto ha il perimetro uguale a 24 e che l’asse maggiore misura 12. Calcola poi il perimetro dei rettangoli inscritti nell’ellisse che hanno l’area uguale a 16rad quad di 6.
Al momento ho trovato solo la b considerando che i fuochi sono sull’asse y e quindi 2b=12 (asse maggiore)
Grazie in anticipo a chi mi aiuta a continuarlo.
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Livello 0
L’equazione è del tipo:
x^2/a^2+y^2/b^2=1
Se i due fuochi stanno sull’asse y deve essere b^2>a^2. Il semiasse relativo deve risultare 6, quindi l’ellisse diventa:
x^2/a^2+y^2/36=1
Il quadrato inscritto in essa ha lato pari a 24/4=6
L’ellisse deve quindi passare da un suo vertice. Ad esempio da A(3,3).
Quindi:
9/a^2+9/36=1——->*36a^2———> 324+9a^2=36a^2
27a^2=324————>a^2=12
Ellisse cercata è x^2/12+y^2/36=1
Passiamo ora alla ricerca deidue rettangoli con i requisiti posti dal problema.
L'area deve valere: 16·√6 = 39.19183588
Sfruttiamo la doppia simmetria dell'ellisse e ricerchiamo la quarta parte da inserire nel 1° quadrante appartenente al rettangolo(rettangoli) da determinare.
Quindi risolviamo rispetto ad y l'ellisse trovata: y = - √3·√(12 - x^2) ∨ y = √3·√(12 - x^2)
consideriamo la semiellisse positiva. Il suo generico punto ha coordinate:
[x, √3·√(12 - x^2)]
Ricerchiamo quindi la quarta parte: moltiplichiamo le coordinate!
x·√3·√(12 - x^2) = 4·√6 eleviamo al quadrato
3·x^2·(12 - x^2) = 96
dividendo per 3 e semplificando si ottiene:
x^4 - 12·x^2 + 32 = 0 risolvo x = - 2·√2 ∨ x = 2·√2 ∨ x = -2 ∨ x = 2
Limitandoci al 1° quadrante abbiamo solo i valori in grassetto
Quindi abbiamo trovato i due rettangoli!
x = 2·√2--------> y = √3·√(12 - (2·√2)^2)------> y = 2·√3 ----->A(2·√2, 2·√3)
x = 2 -----------> y = √3·√(12 - 2^2)-----> y = 2·√6-------> A(2, 2·√6)
Il più è fatto. Allego foto del risultato ottenuto.
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Genius III
Spero abbia capito quanto fatto. Ciao!
1) Qui risulta a < b per come é disposta l'ellisse.
Essendo Lq = 24/4 = 6, il punto (3,3) sta sull'ellisse per cui 9/a^2 + 9/b^2 = 1
che, associata a b = 12/2 = 6, dà luogo a
9/a^2 + 9/36 = 1
9/a^2 = 3/4
a^2 = 9*4/3 = 12
e l'equazione dell'ellisse richiesta é x^2/12 + y^2/36 = 1
2) Posto y = k con k in [0,6]
x^2/12 + k^2/36 = 1
3x^2 + k^2 = 36
x^2 = 36 - k^2
x = +- rad [(36 - k^2)/3]
Il perimetro misura quindi 2*2k + 2*2 rad((36 - k^2)/3) = 4 [ k + rad (12 - k^2/3) ]
e inoltre
2k * 2 rad [ (36 - k^2)/3 ] = 16 rad 6
quadrando e semplificando
16 k^2 *(36 - k^2)/3 = 256*6
k^2(36 - k^2) = 16*18 = 288
k^4 - 36 k^2 + 288 = 0
k^2 = (18 +- rad (324 - 288)) = 18 +- 6 = 24 V 12
sostituendo k = 2 rad 6 V k = 2 rad 3
P1 = 4 [ 2 rad 6 + rad (12 - 8) ] = 4 [ 2 rad 6 + 2 ] = 8 ( 1 + rad 6 )
P2 = 4 [ 2 rad 3 + rad (12 - 4 ) ] = 4 [ 2 rad 3 + 2 rad 2 ] = 8 ( rad 2 + rad 3 )
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Livello 7
