Ciao!
In generale abbiamo che:
Profitto mensile = Guadagno Mensile - Prezzo fisso Mensile
Nel nostro caso: Prezzo fisso Mensile = Numero occhiali venduti $\cdot 40$, perché per ogni occhiale venduto lui spende $40$ euro. (Non è esattamente così nella realtà, perché il negoziante acquista un tot di occhiali e se non li vende tutti rimane dell'invenduto su cui il negoziante ha già pagato il prezzo fisso. Ma fingiamo sia così, è pur sempre un problema di matematica!)
Guadagno Mensile = Prezzo di Vendita $\cdot$ Pezzi venduti
Quindi, ricapitolando:
Profitto Mensile = Prezzo di vendita $\cdot$ pezzi venduti - Pezzi venduti $\cdot 40$
Sappiamo però che i pezzi venduti dipendono linearmente dal costo al pezzo, quindi:
Pezzi venduti = $a \cdot$ prezzo di vendita $+ b$
dove $a$ è la costante di proporzionalità e $b$ la quota della retta
Possiamo trovare il valore di $a,b$ dai dati del problema:
$\begin{cases} 10 = a \cdot 80 + b \\ 25= a \cdot 60 + b \end{cases} $
che ci dà $\begin{cases} a =-\frac34 \\ b = 70 \end{cases} $
Allora abbiamo trovato che Pezzi venduti = $ -\frac34 x +70$
dove abbiamo indicato con $x=$ prezzo di vendita.
Siamo pronti a formalizzare matematicamente questa espressione!
Se chiamiamo $y =$ profitto mensile e $x=$ prezzo di vendita, $z =$ numero di pezzi venduti, abbiamo:
$y = x \cdot z - z \cdot 40 $
e $ z = -\frac34 x +70$
Sostituendo l'espressione di $z$ in $y$ otteniamo:
$y = x(-\frac34 x+70) -(-\frac34 x +70)\cdot 40 $
$ y = -\frac34 x^2 +70 x +30 x -2800 $
$y = -\frac34 x^2 +100 x -2800$
Che è una parabola rivolta verso il basso. Il suo massimo è quindi il vertice! Dato che vogliamo sapere il prezzo di vendita necessario a ottenere il massimo, cioè dobbiamo trovare un valore di $x$, dobbiamo trovare l'ascissa del vertice:
$x_V = -\frac{b}{2a} = -\frac{ 100}{2 \cdot ( -\frac34)} = \frac{400}{6} = 66.66666 = 66.67 $
