Problema di geometria sulla circonferenza

Ho colorato dello stesso colore elementi congruenti, aiutati con la figura per seguire la dimostrazione.

Il triangolo $OMN$ è isoscele, perché $\overline{OM} \cong \overline{ON}$ sono raggi della circonferenza centrata in $O$. Di conseguenza, gli angoli sulla base $\overline{MN}$ che ho indicato con $\gamma \cong \delta$ sono congruenti perché sono angoli alla base di un triangolo isoscele. Osserviamo che $\overline{OM} \perp \overline{AB}$ perché è la bisettrice dell'angolo $\beta$ (dato che divide l'arco di circonferenza in due archi uguali perché $M$ è il punto medio dell'arco $\overline{AB}$), allo stesso modo $\overline{ON} \perp \overline{FC}$. Essendo due angoli congruenti, dato che la somma degli angoli in un triangolo è di $180^{\circ}$, anche il terzo lo sarà, quindi $\iota \cong \kappa$. Dimostriamo la catena di congruenze $\iota \cong \kappa \cong \theta \cong \eta$ perché sono angoli apposti al vertice di angoli congruenti (e quindi congruenti a entrambi gli angoli). Dato che $\theta \cong \eta$, il triangolo $EFB$ è isoscele con base $\overline{EF}$, i lati obliqui $\overline{EB} \cong \overline{BF}$ sono congruenti per definizione di triangolo isoscele.

$\textit{c.v.d.}$