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[Risolto] Problema di geometria, mi aiutate per favore?

  

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Un trapezio isoscele A B C D è inscritto in una semicirconferenza di diametro 25 m. Calcolare la misura dei lati, sapendo che il perimetro è di 62 m

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Ciao.

Partiamo dalla rappresentazione della figura rappresentante un trapezio isoscele inscritto in una semicirconferenza.

geo 212358

DATI:

$AB=25 m$

$2p=62 m$

Trattandosi di una semicirconferenza il diametro coincide con la base maggiore del trapezio isoscele, indicata da AB.

Essendo un trapezio isoscele $AD=CB$ ovvero i lati obliqui hanno lo stesso valore.

Fissate le proiezioni H e K sul lato AB si ha che

$AH=KB$

Possiamo dunque porre un'incognita visto che non si conosce il valore:

$AH=KB=x$

Quindi $HK=AB-AH-KB=AB-x-x=25-2x$

Sapendo che $HK=DC$ visibile anche in figura si ha:

$DC=25-2x$ 

che rappresenta la base minore.

Per trovare il valore del lato obliquo del trapezio non è possibile utilizzare il Teorema di Pitagora in quanto abbiamo in incognita più di un lato.

Quindi, possiamo utilizzare il Teorema di Euclide, che afferma:

In un triangolo rettangolo il cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa.

Il lato obliquo AD è dato quindi :

$AD=\sqrt{AH \cdot AB}=\sqrt{x \cdot 25}=5 \sqrt{x}$

Visto che i due lati obliqui sono uguali $AD=CB=5 \sqrt{x}$

Visto che ora abbiamo ricavato tutti i lati in funzione dell'incognita x, possiamo sostituirli nel perimetro:

$2p=AB+CB+DC+DA$

$2p=25+5 \sqrt{x}+ 25-2x+5 \sqrt{x}$

Dobbiamo imporre $2p=62m$

$25+5 \sqrt{x}+ 25-2x+5 \sqrt{x}=62$

Risolvendo tale espressione, troviamo un'equazione di 2° in cui le possibili soluzioni sono:

$x_1=4$ e $x_2=9$

Sostituendo i valori nei lati si ottengono:

Con x=4 

  • $AD=CB=10m,  CD=17m$ 

Con x=9

  • $AD=CB=15, CD=7m$




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Presupponendo che AB coincida con il diametro, si indica con H la proiezione di D su AB e con K la proiezione di C su AB.

Si pone x=AH.

Ovviamente HK=2r-2x=25-2x=CD

Per il primo teorema di Euclide 

AD=sqrt(AH*AB)=sqrt(x*2r)=sqrt(25x)=5*sqrt(x)

Il perimetro del trapezio è espresso da

AB+2*AD+CD=25+10*sqrt(x)+25-2x

Quindi

50+10*sqrt(x)-2x=62

10*sqrt(x)=12+2x

5*sqrt(x)=6+x

25x=36+x^2+12x

x^2-13x-36=0

 

Le soluzioni sono x=4 e x=9

1) per x=4: AD=10 e CD=17

2) per x=9: AD=15 e CD=7

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Un trapezio isoscele A B C D è inscritto in una semicirconferenza di diametro 25 m. Calcolare la misura dei lati, sapendo che il perimetro è di 62 m

OD = OA = d/2 = r = 12,5 

AD^2 = 2r^2-2r^2cos k = 2r^2(1-cos k)

DC^2 = 2r^2-2r^2cos (180-2k) = 2r^2(1-cos(180-2k))

25+2*AD+DC = 62 

la soluzione del sistema porta :

AD = BC = 10

DC = 17

perim = 25+20+17 = 62

angolo AOD = angolo BOC = 47,15°

angolo DOC = 85,70°

Verifica :

√2*12,5^2*(1-cos 47,15) = 10,00

√2*12,5^2(1-cos(180-2*47,15)) = 17,00

Figura indicativa (non in scala)

image




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