Un trapezio isoscele A B C D è inscritto in una semicirconferenza di diametro 25 m. Calcolare la misura dei lati, sapendo che il perimetro è di 62 m
Un trapezio isoscele A B C D è inscritto in una semicirconferenza di diametro 25 m. Calcolare la misura dei lati, sapendo che il perimetro è di 62 m
Ciao.
Partiamo dalla rappresentazione della figura rappresentante un trapezio isoscele inscritto in una semicirconferenza.
DATI:
$AB=25 m$
$2p=62 m$
Trattandosi di una semicirconferenza il diametro coincide con la base maggiore del trapezio isoscele, indicata da AB.
Essendo un trapezio isoscele $AD=CB$ ovvero i lati obliqui hanno lo stesso valore.
Fissate le proiezioni H e K sul lato AB si ha che
$AH=KB$
Possiamo dunque porre un'incognita visto che non si conosce il valore:
$AH=KB=x$
Quindi $HK=AB-AH-KB=AB-x-x=25-2x$
Sapendo che $HK=DC$ visibile anche in figura si ha:
$DC=25-2x$
che rappresenta la base minore.
Per trovare il valore del lato obliquo del trapezio non è possibile utilizzare il Teorema di Pitagora in quanto abbiamo in incognita più di un lato.
Quindi, possiamo utilizzare il Teorema di Euclide, che afferma:
In un triangolo rettangolo il cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa.
Il lato obliquo AD è dato quindi :
$AD=\sqrt{AH \cdot AB}=\sqrt{x \cdot 25}=5 \sqrt{x}$
Visto che i due lati obliqui sono uguali $AD=CB=5 \sqrt{x}$
Visto che ora abbiamo ricavato tutti i lati in funzione dell'incognita x, possiamo sostituirli nel perimetro:
$2p=AB+CB+DC+DA$
$2p=25+5 \sqrt{x}+ 25-2x+5 \sqrt{x}$
Dobbiamo imporre $2p=62m$
$25+5 \sqrt{x}+ 25-2x+5 \sqrt{x}=62$
Risolvendo tale espressione, troviamo un'equazione di 2° in cui le possibili soluzioni sono:
$x_1=4$ e $x_2=9$
Sostituendo i valori nei lati si ottengono:
Con x=4
Con x=9
Presupponendo che AB coincida con il diametro, si indica con H la proiezione di D su AB e con K la proiezione di C su AB.
Si pone x=AH.
Ovviamente HK=2r-2x=25-2x=CD
Per il primo teorema di Euclide
AD=sqrt(AH*AB)=sqrt(x*2r)=sqrt(25x)=5*sqrt(x)
Il perimetro del trapezio è espresso da
AB+2*AD+CD=25+10*sqrt(x)+25-2x
Quindi
50+10*sqrt(x)-2x=62
10*sqrt(x)=12+2x
5*sqrt(x)=6+x
25x=36+x^2+12x
x^2-13x-36=0
Le soluzioni sono x=4 e x=9
1) per x=4: AD=10 e CD=17
2) per x=9: AD=15 e CD=7
Un trapezio isoscele A B C D è inscritto in una semicirconferenza di diametro 25 m. Calcolare la misura dei lati, sapendo che il perimetro è di 62 m
OD = OA = d/2 = r = 12,5
AD^2 = 2r^2-2r^2cos k = 2r^2(1-cos k)
DC^2 = 2r^2-2r^2cos (180-2k) = 2r^2(1-cos(180-2k))
25+2*AD+DC = 62
la soluzione del sistema porta :
AD = BC = 10
DC = 17
perim = 25+20+17 = 62
angolo AOD = angolo BOC = 47,15°
angolo DOC = 85,70°
Verifica :
√2*12,5^2*(1-cos 47,15) = 10,00
√2*12,5^2(1-cos(180-2*47,15)) = 17,00
Figura indicativa (non in scala)
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