[Risolto] Problema di geometria euclidea

x = spigolo di base della piramide

H = 6/5·x = altezza della piramide

a = √((x/2)^2 + (6/5·x)^2) = apotema laterale della piramide

a = 13·x/10 in cm

1440 = x^2 + 1/2·(4·x)·(13/10·x) = superficie totale piramide (nota)

1440 = 18·x^2/5----> x = √(1440·5/18)----> x = 20 cm

H = 6/5·20-----> H = 24 cm

La funzione: s = 20 - 5/6·y

esprime lo spigolo superiore del tronco di cono ottenuto sezionando la piramide con un piano orizzontale posto ad una quota y dalla base della piramide.

Tale spigolo deve valere:

s = 20/4 = 5 cm ad una certa quota pari a:

5 = 20 - 5/6·y---> y = 18 cm dalla base della piramide

Dal vertice tale sezione ha distanza: d = 24 - 18---> d = 6 cm

L'apotema della piramidina sezionata dal piano vale:

a = 13·x/10 con x = s = 5 cm:

a = 13·5/10---> a = 13/2 = 6.5 cm

La superficie laterale della piramidina sezionata varrà:

Σ = 1/2·20·6.5----> Σ = 65 cm^2

La superficie del tronco di cono così ottenuto sarà quindi pari a:

1440 - 65 + 5^2 = 1400 cm^2

(il 3° addendo è la superficie di base superiore del tronco di cono

Una piramide regolare a base quadrata ha l'area della superficie totale di 1.440 cm2 e l'altezza VH (h) pari ai 6/5 dello spigolo di base AB. Stabilisci a quale distanza dal vertice VK si deve condurre un piano secante parallelo alla base, affinché il perimetro del poligono intersezione FGIJ sia 20 cm. Determina inoltre l'area della superficie totale del tronco di piramide ottenuto.

spigolo di base AB in per unità = 1

apotema VL(a) in per unità = √(6/5)^2+(0,5)^2 = √36/25+0,25 = √(36+6,25)25 = 6,50/5 = 1,30

area piramide Ap = 1.440 = k^2+2*1,3k^2 = 3,6k^2

coeff. di proporzionalità K = √1440/3,6 = 20 

spigolo di base AB = 1*k = 20 cm 

altezza h = k*1,2 = 24 cm 

apotema piramide a = k*1,3 = 26 cm

apotema tronco di piramide a' = a(1-5/20)= 15a/20 = 19,50 cm

altezza VK (h-h') = 24*5/20 = 24/4 = 6,0 cm 

area tronco di piramide Atp = 20^2+5^2+(80+20)*19,50/2 = 1400 cm^2

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