[Risolto] Problema di geometria Analitica

La striscia σ ha pendenza m = tg(45°) = 1.
Le intercette sull'asse y sono
* (x = 0) & (|x - y| <= √2) ≡ Ly(0, - √2) oppure Uy(0, √2)
Le intercette sull'asse x sono
* (y = 0) & (|x - y| <= √2) ≡ Lx(- √2, 0) oppure Ux(√2, 0)
Le rette di frontiera sono
* LxUy ≡ y = x + √2
* UxLy ≡ y = x - √2
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La loro distanza è
* |LU| = 2*√2
e l'asse della striscia è la bisettrice dei quadranti dispari
* y = x
su cui è centrata la circonferenza Γ richiesta.
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L'ampiezza d di σ (il diametro di Γ) è il lato di un quadrato con diagonale LU
* d = 2*r = (2*√2)/√2 = 2 ≡ r = 1
quindi ogni circonferenza tangente ai lati della striscia è
* Γ(k) ≡ (x - k)^2 + (y - k)^2 = r^2 = 1
La condizione di passare per (- 4, - 3) impone il vincolo
* (- 4 - k)^2 + (- 3 - k)^2 = 1 ≡ (k = - 4) oppure (k = - 3)
da cui
* Γ(- 4) ≡ (x + 4)^2 + (y + 4)^2 = 1
* Γ(- 3) ≡ (x + 3)^2 + (y + 3)^2 = 1
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https://www.wolframalpha.com/input/?i=%5B%28x%2B4%29%5E2%2B%28y%2B4%29%5E2%3D1%2C%28x%2B3%29%5E2%2B%28y%2B3%29%5E2%3D1%2Cy%3Dx%2B%E2%88%9A2%2Cy%3Dx-%E2%88%9A2%5D
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5B%28x%2B4%29%5E2%2B%28y%2B4%29%5E2%3D1%2C%28x%2B3%29%5E2%2B%28y%2B3%29%5E2%3D1%5D

La regione σ può essere esplicitata nei termini del seguente sistema di disequazioni:

$$\left\{ \begin{array}{ll} y\geq x-\sqrt{2} \\ y\leq x+\sqrt{2} \end{array}\right.\;\;.$$

I punti del piano che vi appartengono sono quelli “al di sotto” della retta $y= x+\sqrt{2}$ e “al di sopra” della retta $y= x-\sqrt{2}$:

una circonferenza che sia tangente ad entrambe le rette deve avere il centro sulla retta che rappresenta l’asse di simmetria della striscia σ, cioè $y=x$, e il raggio deve essere pari alla semidistanza tra le rette stesse, cioè deve valere 1.

Queste due condizioni consentono di avere un’equazione della circonferenza di questo tipo: $${{\left( x-k \right)}^{2}}+{{\left( y-k \right)}^{2}}=1$$ Imponendo il passaggio per il punto $(−4,−3)$ si ottiene la seguente equazione per $k$:

$${{\left( -4-k \right)}^{2}}+{{\left( -3-k \right)}^{2}}=1\Rightarrow {{k}^{2}}+7k+12=0\Rightarrow {{k}_{1}}=-3,\ {{k}_{2}}=-4$$

Vi sono quindi due circonferenze che soddisfano la condizione richiesta, e le loro equazioni sono: $${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+6x+6y+17=0\quad \quad {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+8x+8y+31=0\quad$$.