problema di geometria analitica 492

Asse segmento BC:

[-4, 1]

[0, -1]

[x, y]

(x + 4)^2 + (y - 1)^2 = (x - 0)^2 + (y + 1)^2

x^2 + 8·x + y^2 - 2·y + 17 = x^2 + y^2 + 2·y + 1

y = 2·x + 4

Calcolo coordinate di A e dell'area A di ABC

{3·x + 2·y - 15 = 0

{y = 2·x + 4

risolvo ed ottengo: [x = 1 ∧ y = 6]

A [1, 6]

B [-4, 1]

C [0, -1]

A [1, 6]

Α = 1/2·ABS((1·1 + (-4)·(-1) + 0·6) - (1·(-1) + 0·1 + (-4)·6))

Α = 1/2·ABS(5 - (1·(-1) + 0·1 + (-4)·6))

Α = 1/2·ABS(5 - (-25))

Α = 15

Per determinare la coordinate del vertice A usiamo l'asse del segmento (BC) che verrà intersecato con la retta data r: 3x-4y+16=0.

Ricordiamo che l'asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti equidistante dai vertici B e C. L'asse risponde all'ipotesi che il triangolo deve essere isoscele e BC la sua base.

• Equazione dell'asse BC

Siano x, y le coordinate del punto A(x, y)

$ (x-x_b)^2 + (y-y_b)^2 = (x-x_c)^2 + (y-y_c)^2 $

$ (x+4)^2 + (y-1)^2 = x^2 + (y+2)^2 $

$ 8x-4y+16 = 0 $

• Coordinate punto A(x,y)

E' il punto di intersezione asse/retta; si tratta di risolvere il sistema

$ \begin{cases} 8x-4y+16 = 0 \\ 3x+2y-15=0 \end{cases} $

La cui soluzione è $ x = 1  ∧  y = 6 $ quindi

$ A(1, 6) $

Per calcolare l'area determiniamo la lunghezza della base BC e dell'altezza MA

• Lunghezza base BC

$ \bar{BC} = \sqrt{(x_b-x_c)^2 + (y_b-y_c)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} $

• Coordinate del punto medio della base BC

$ M(\frac{x_b+x_c}{2}, \frac{y_b+y_c}{2}) = M(-2, 0) $

• Lunghezza dell'altezza MA

$ \bar{MA} = \sqrt{(x_m-x_a)^2 + (y_m-y_a)^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} $

• Area S triangolo ABC

$ S = \frac{BC \times MA}{2} = \frac{2\sqrt{5} \times 3\sqrt{5}}{2} = 15 $

Grafico riferimento

https://www.desmos.com/calculator/3flcdtd3n7