Problema dí geometria analitica

1^ circonferenza di centro :

Α  [5, β]   con β > 0

metto a sistema:

{y = 3/4·x + 3

{(x - 5)^2 + (y - β)^2 = β^2

Per sostituzione:

(x - 5)^2 + ((3/4·x + 3) - β)^2 = β^2

(x^2 - 10·x + 25) + (9·x^2/16 + 3·x·(3 - β)/2 + β^2 - 6·β + 9) - β^2 = 0

25·x^2/16 - x·(3·β + 11)/2 - 6·β + 34 = 0

Δ = 0  condizione di tangenza

((3·β + 11)/2)^2 - 4·25/16·(34 - 6·β) = 0

(9·β^2/4 + 33·β/2 + 121/4) - (425/2 - 75·β/2) = 0

9·β^2/4 + 54·β - 729/4 = 0

fattorizzo:

9·(β - 3)·(β + 27)/4 = 0

risolvo: β = -27 ∨ β = 3

(scarto la prima come dice il testo)

(x - 5)^2 + (y - 3)^2 = 3^2

x^2 + y^2 - 10·x - 6·y + 25 = 0

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Le altre due circonferenze si trovano con centro sulla retta perpendicolare a quella data:

y = 3/4·x + 3----> y = - 4/3·x + q 

Il passaggio per [5, 3] permette di determinare tale retta

3 = - 4/3·5 + q

3 = q - 20/3----> q = 29/3

y = - 4/3·x + 29/3

quindi:

[α, - 4/3·α + 29/3]  sono le coordinate del centro delle due circonferenze rimanenti da cercare.

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Determino le coordinate del punto di tangenza T

25·x^2/16 - x·(3·3 + 11)/2 - 6·3 + 34 = 0

25·x^2/16 - 10·x + 16 = 0

(5·x - 16)^2/16 = 0---> x = 16/5

y = 3/4·(16/5) + 3----> y = 27/5

T  [16/5,27/5]

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Determino le altre due circonferenze

Il centro delle circonferenze è:

[α, - 4/3·α + 29/3]

che risultano essere tangenti all'asse y :

(16/5 - α)^2 + (27/5 - (- 4/3·α + 29/3))^2 = α^2

(α^2 - 32·α/5 + 256/25) + (16·α^2/9 - 512·α/45 + 4096/225) - α^2 = 0

16·α^2/9 - 160·α/9 + 256/9 = 0

16·(α - 2)·(α - 8)/9 = 0----> α = 8 ∨ α = 2

α = 8

Il centro è:

[8, - 4/3·8 + 29/3]----> [8, -1]

(x - 8)^2 + (y + 1)^2 = 8^2

x^2 + y^2 - 16·x + 2·y + 1 = 0

α = 2

Il centro è:

[2, - 4/3·2 + 29/3]---> [2, 7]

(x - 2)^2 + (y - 7)^2 = 2^2

x^2 + y^2 - 4·x - 14·y + 49 = 0

Per rendermi conto svolgo anche la prima parte.