[Risolto] piramide retta tagliata da un piano parallelo

lato di base ---> a = perimetro di base /4 = 192sqrt2 /4 = 48sqrt2 cm---> per la piramide piccola poniamo a'

h = 32sqrt2 cm ---> per la piramide piccola h'' ( grandezza cercata)

altezza di una faccia h' con Pitagora  ---> per la piramide piccola h'''
h' = sqrt(h² + a²/4) = sqrt(2*32² + 48²*2/4) = 40sqrt2 cm

superficie laterale Sl piramide:
Sl = 4*a*h'/2 = 4*48sqrt2*40sqrt2/2 = 7680 cm² 

superficie laterale Sl' piramide piccola:

Sl' = 7860 - Sl = 180 cm² = 4*a'*h''/2

ricordiamo che per la similitudine tra triangoli è:                 

a/a' = h/h'' = h'/h'''

Sl/Sl' = 2*a*h' /(2*a'*h''') = a*h'/(a'*h''') = (a/a')² = (h/h'')² = (h'/h''')²

siccome cerchiamo h'' ricaviamo:

Sl/Sl' = (h/h'')²     --->     h''² = h²*Sl'/Sl = 32²*2*180/7680 = 48 = 16*3 

quindi estraendo la radice:

---> h" = 4*sqrt3 cm           {= 6,9282.... cm }

Se non ho sbagliato i calcoli è così...

lato L = 48√2

altezza h = 32√2

apotema a = √(24√2)^2+(32√2)^2 = 40√2

Slat = 96√2*40√2 = 7680

ΔSlat = 7860-7680 = 180 

k = √180/7680 = √60/2560 = √6/256 = √3/(64*2) = 1/8*√3/√2  

h' = h*k = 32√2*1/8*√3/√2 = 4√3 ...distanza dal vertice !!!

a' = a*k = 40√2*1/8*√3/√2 = 5√3 

L' = L*k = 48√2*1/8*√3/√2 = 6√3 

ΔSlat = 2L'*a' = 12√3 * 5√3 = 60*3 = 180,00 QED

Osserviamo che il rapporto di similitudine ( lineare ) fra la piramide ridotta e l'originale é

k(x) = x/(32 rad 2)

Le misure sono in cm; le superfici in cm^2.

Risulta ordinatamente

Lato di base = 192/2 rad(2) = 48 rad(2)

Lb/2 = 24 rad(2)

Per il Teorema di Pitagora    A^2 = (Lb/2)^2 + H^2 = 24^2*2 + 32^2*2 = 3200

A = rad(3200) = 40 rad(2)

Sl = Pb*A/2 = 192 rad(2)*40 rad(2) / 2 = 192*40 = 7680

e la superficie laterale della piramide ridotta, S'l = Sl * k^2 = 7680 x^2/(32 rad(2))^2

misura  7860 - 7680 = 180

Pertanto  si ha l'equazione   7680 x^2/2048 = 180

da cui x^2 = 18*2048/768 = 48

e infine x = rad(16*3) = 4 rad(3)